Špicaté teleso

Špicaté teleso je teleso so základňou, kde všetky body na obvode sú spojené s vrcholom, kde:

Špicaté teleso

Objem	$V=S_{b}.{\frac {1}{3}}v$
Povrch	$P=\int _{0}^{l}{L(i)di}$

$S_{b}$ je plocha základne naspodku (najväčšia)

v je výška vrcholu od základne (kolmá).

Objem

Objem sa počíta tak, že naše teleso rozsekáme po výške (os y) na tenké plátky s hrúbkou $dy$ a tie zintegrujeme dokopy integrálom

$V=\int _{0}^{v}{S(y)dy}$
kde $S(y)=S_{b}.(1-{\frac {y}{v}})^{2}=S_{b}.(1-{\frac {2.y}{v}}+{\frac {y^{2}}{v^{2}}})$

potom

$V=S_{b}\int _{0}^{v}{(1-{\frac {2.y}{v}}+{\frac {y^{2}}{v^{2}}})dy}=S_{b}.[y-{\frac {2.y^{2}}{2v}}+{\frac {y^{3}}{3.v^{2}}}]_{0}^{v}=S_{b}.(v-{\frac {2.v^{2}}{2v}}+{\frac {v^{3}}{3.v^{2}}}-0)=S_{b}.(v-v+{\frac {v}{3}})$

z toho vyplýva, že

$V=S_{b}.{\frac {1}{3}}v$

a vidíme, že je úplne jedno, aký tvar má základňa, a kde je vrchol, dôležité je len, v akej kolmej výške od základne sa vrchol nachádza, a môže byť aj mimo základne alebo nad ňou alebo hocikde.

Povrch

Povrch vypočítame tak, že sčítame povrch základne a plášťa. Povrch plášťa zase tak, že obvod základne rozdelíme na bodíky s hrúbkou $di$ a dĺžkou L(i),

kde L(i) je dĺžka spojnice bodíka $di$ a vrcholu.

$P=\int _{0}^{l}{L(i)di}$