Asymptotická hustota

Asymptotická hustota je jedno spomedzi mnohých čísel udávajúcich, ako husto sú prvky danej podmnožiny prirodzených čísel rozprestrené v samotných prirodzených číslach. Presne je asymptotická hustota $d(A)$ množiny $A$ prirodzených čísel definovaná vzťahom

$d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}$

kde $A(n)=\left|A\cap \{1,2,3,\ldots ,n\}\right|$ je počet všetkých prvkov množiny $A$, ktoré sú menšie než prirodzené číslo $n$. Ak limita v tomto definujúcom vzťahu existuje, hovoríme, že množina $A$ má asymptotickú hustotu. Nie všetky podmnožiny množiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu.

Horná a dolná asymptotická hustota

Horná asymptotická hustota podmnožiny $A$ prirodzených čísel je číslo

${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}$

zatiaľ čo jej dolná asymptotická hustota je

${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}.$

Na rozdiel od asymptotickej hustoty, horná a dolná asymptotická hustota existuje pre každú podmnožinu prirodzených čísel. Je zrejmé, že množina má asymptotickú hustotu vtedy a len vtedy ak sa jej horná a dolná asymptotická hustota rovnajú.

Príklady

• Množina prirodzených čísel ale aj všetky jej kokonečné podmnožiny majú asymptotickú hustotu 1.
• Prázdna množina ale aj všetky konečné podmnožiny prirodzených čísel majú asymptotickú hustotu 0.
• Množina párnych kladných čísel a množina nepárnych kladných čísel majú asymptotickú hustotu 1/2.
• Množina všetkých členov aritmetickej postupnosti {an+b} s diferenciou a má asymptotickú hustotu 1/a.
• Množina štvorcov alebo množina dokonalých čísel sú príkladmi nekonečných množín ktorých asymptotická hustota je 0.
• Príkladom množiny ktorá nemá asymptotickú hustotu je

$A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\in \mathbb {N} \,|\,2^{2n+1}-2^{2n-1}\leq n\leq 2^{2n+1}\}$.

• O množine abundantných čísel sa vie, že má asymptotickú hustotu, zatial ale nie je známa jej presná hodnota. Vie sa iba toľko, že táto asymptotická hustota sa nachádza v intervale [0.2474,0.2480].

Vlastnosti

• Ak množina $A$ má asymptotickú hustotu, potom platí $d(A^{c})=1-d(A)$, kde $A^{c}$ je komplement množiny $A$ vzhľadom k množine prirodzených čísel. Pre hornú a dolnú hustotu máme ${\overline {d}}(A^{c})=1-{\underline {d}}(A)$.
• Pre ľubovoľnú podmnožinu prirodzených čísel platí $0\leq {\underline {d}}(A)\leq {\underline {d}}(B)\leq 1$.
• Pre disjunktné množiny $A,B\subseteq \mathbb {N}$ platí

${\underline {d}}(A)+{\underline {d}}(B)\leq {\underline {d}}(A\cup B)\leq {\underline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)\leq {\overline {d}}(A\cup B)\leq {\overline {d}}(A)+{\overline {d}}(B)$

Špeciálne, ak $A$ aj $B$ majú hustotu, tak dostaneme $d(A\cup B)=d(A)+d(B)$. Teda asymptotická hustota je konečne aditívna.

Literatúra

• KOLIBIAR, Milan; LEGÉŇ, Anton; ŠALÁT, Tibor; ZNÁM, Štefan. Algebra a príbuzné disciplíny. Bratislava : Alfa, 1992. ISBN 80-05-00721-3.

Pozri aj

• Schnirelmannova hustota