Derivácia v smere

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí - parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia

Derivácia funkcie

$f({\vec {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

v smere vektora

${\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})$

je funkcia definovaná ako limita

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}({\vec {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h}}.$

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako $D_{\vec {v}}({\vec {x}})$ alebo $\nabla _{\vec {v}}({\vec {x}})$. Ak je funkcia $f$ diferencovateľná v bode ${\vec {x}}$, tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora ${\vec {v}},$ pričom platí

${\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}({\vec {x}})=\nabla f({\vec {x}})\cdot {\vec {v}}$,

kde $\nabla$ označuje gradient a $\cdot$ je skalárny súčin.

Vlastnosti

Pre derivácie v smere platia viaceré vlastnosti, ktoré platia pre klasické derivácie funkcií jednej reálnej premennej alebo pre parciálne derivácie. Konkrétne, nech f a g sú funkcie definované na okolí bodu p a diferencovateľné v p. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• ${\frac {\partial (f+g)}{\partial {\vec {v}}}}(p)={\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}(p)+{\frac {\partial g}{\partial {\vec {v}}}}(p)$
• Pre ľubovoľnú konštantu c: ${\frac {\partial (cf)}{\partial {\vec {v}}}}(p)=c{\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}(p)$
• ${\frac {\partial (fg)}{\partial {\vec {v}}}}(p)=g(p){\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}(p)+f(p){\frac {\partial g}{\partial {\vec {v}}}}(p)$
• Ak g je diferencovateľná v p a h je diferencovateľná v bode g(p), tak

${\frac {\partial (h\circ g)}{\vec {v}}}(p)=h'(g(p)){\frac {\partial g}{\vec {v}}}(p)$

Pozri aj

• Parciálna derivácia
• Gradient

Externé odkazy

• Článok o deriváciách v smere na stránkach Wolfram MathWorld (po anglicky).