Doplnenie na štvorec alebo doplnenie do štvorca [1] matematickej analýzy , pri ktorej podstatou je zmena polynómu 2. stupňa, teda kvadratického trojčlena na tvar štvorca .
Animácia, znázorňujúca proces dopĺňania na štvorec. (GIF verzia ) Využíva sa rovnosť:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
x
{\displaystyle x}
Dôkaz rovnosti
upraviť
Stačí spočítať štvorec (čiže druhú mocninu) na pravej strane.
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
=
a
(
x
2
+
2
x
b
2
a
+
b
2
4
a
2
)
+
4
a
c
−
b
2
4
a
=
a
x
2
+
b
x
+
b
2
4
a
+
4
a
c
−
b
2
4
a
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=a(x^{2}+2x{\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}})+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}=ax^{2}+bx+c}
V praxi sa obyčajne nepoužíva uvedený vzorec, akoby sme ho vedeli naspamäť.
1). Upravte na štvorec kvadratický polynóm
x
2
+
6
x
+
10
=
(
x
2
+
6
x
+
9
)
+
1
=
(
x
+
3
)
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+6x+10=(x^{2}+6x+9)+1=(x+3)^{2}+1}
(
x
+
3
)
2
+
1
≥
1
{\displaystyle (x+3)^{2}+1\geq 1}
x
=
−
3
{\displaystyle x=-3}
9
{\displaystyle 9}
x
2
+
6
x
+
9
=
(
x
+
3
)
2
{\displaystyle x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}}
2). O niečo komplikovanejším výpočtom dostaneme výsledok ak upravujeme výraz
7
x
2
−
3
x
+
12
=
7
(
x
2
−
3
7
x
)
+
12
=
7
(
x
2
−
3
7
x
+
(
3
14
)
2
)
−
7
(
3
14
)
2
+
12
=
7
(
x
−
3
14
)
2
+
327
28
≥
327
28
{\displaystyle 7x^{2}-3x+12=7(x^{2}-{\frac {3}{7}}x)+12=7(x^{2}-{\frac {3}{7}}x+({\frac {3}{14}})^{2})-7({\frac {3}{14}})^{2}+12=7(x-{\frac {3}{14}})^{2}+{\frac {327}{28}}\geq {\frac {327}{28}}}
x
{\displaystyle x}
7
x
2
−
3
x
+
12
=
327
28
{\displaystyle 7x^{2}-3x+12={\frac {327}{28}}}
x
=
3
14
{\displaystyle x={\frac {3}{14}}}
3). Podobne
−
2
x
2
+
5
x
+
11
=
−
2
(
x
2
−
5
2
x
)
+
11
=
−
2
(
x
2
−
5
2
x
+
(
5
4
)
2
)
+
2
(
5
4
)
2
+
11
=
−
2
(
x
−
5
4
)
2
+
113
8
≤
113
8
{\displaystyle -2x^{2}+5x+11=-2(x^{2}-{\frac {5}{2}}x)+11=-2(x^{2}-{\frac {5}{2}}x+({\frac {5}{4}})^{2})+2({\frac {5}{4}})^{2}+11=-2(x-{\frac {5}{4}})^{2}+{\frac {113}{8}}\leq {\frac {113}{8}}}
x
{\displaystyle x}
−
2
x
2
+
5
x
+
11
=
113
8
{\displaystyle -2x^{2}+5x+11={\frac {113}{8}}}
x
=
5
4
{\displaystyle x={\frac {5}{4}}}
Všeobecne ak
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
x
=
−
b
2
a
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
a
x
2
+
b
x
+
c
=
4
a
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle ax^{2}+bx+c={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}
4). Chceme nájsť také číslo
x
{\displaystyle x}
2
x
2
+
8
x
−
13
{\displaystyle 2x^{2}+8x-13}
2
x
2
+
8
x
−
13
=
2
(
x
2
+
4
x
)
−
13
=
2
(
x
2
+
4
x
+
4
)
−
8
−
13
=
2
(
x
+
2
)
2
−
21
{\displaystyle 2x^{2}+8x-13=2(x^{2}+4x)-13=2(x^{2}+4x+4)-8-13=2(x+2)^{2}-21}
2
x
2
+
8
x
−
13
{\displaystyle 2x^{2}+8x-13}
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
2
x
2
+
8
x
−
13
=
−
21
{\displaystyle 2x^{2}+8x-13=-21}
↑ EISENREICH, Günther; SUBE, Ralf, a kol. Matematika: anglicko-nemecko-francúzsko-rusko-slovenský slovník . 1. vyd. Bratislava : Alfa, 1982.
I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 60-62 
