Interval (matematika)

Interval v matematike je množina všetkých reálnych čísel ležiacich medzi dvoma reálnymi číslami a, b. Napríklad množina $x$ spĺňajúcich nerovnosť $0\leq x\leq 1$, čo sa zapisuje v tvare $[0,1]$. Iným príkladom intervalu je množina všetkých reálnych čísel $\mathbb {R}$, čo sa zapisuje aj v tvare $(-\infty ,+\infty )$, alebo množina všetkých záporných reálnych čísel $\mathbb {R} ^{-}$, čo zapisujeme ako $(-\infty ,0)$. Krajné body do intervalu môžu, ale nemusia patriť, podľa toho či v jeho špecifikácii sú ostré alebo neostré nerovnosti.

Všeobecne je v abstraktnej matematike interval definovaný ako podmnožina S nejakej lineárne usporiadanej množiny T, pre ktorú platí:

${x,y\in S}\land {\displaystyle x<z<y}$, potom ${z\in S}$

Vyššie uvedená definícia je potom dôležitým špeciálnym prípadom s ${T=\mathbf {R} }$.

Označenia intervalov

Typy intervalů

${\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\(a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}$

V literatúre sa tiež možno stretnúť s označením pre ostrú hranicu znakmi < a > a s oddeľovačom hraníc intervalu znakom ;, aby nedošlo k zámene s desatinnou čiarkou.

Terminológia

Otvorený interval neobsahuje svoje krajné body, a je označovaný pomocou oblých zátvoriek. Napríklad $(0,1)$ predstavuje čísla väčšie ako 0 a menšie ako 1.

Uzavretý interval obsahuje aj krajné body a označuje sa pomocou hranatých zátvoriek alebo pomocou znakov < a >. Napríklad $[0,1]$ znamená čísla väčšie alebo rovné ako 0 a menšie alebo rovné ako 1.

Polootvorený alebo polouzavretý interval je interval, ktorý je na jednom konci uzavretý a na druhom otvorený.

Vlastnosti

• Prienik dvoch intervalov je interval.
• Interval je konvexná množina.
• Zjednotenie dvoch intervalov je interval práve vtedy a len vtedy, ak intervaly majú neprázdny prienik, alebo ak otvorená hranica jedného intervalu je uzavretou hranicou druhého intervalu.

Zdroj

• I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 60-62