Koeficient špicatosti

Koeficient špicatosti (iné názvy: koeficient strmosti, exces, exces rozdelenia (náhodnej premennej), koeficient excesu, zahrotenosť, zvyšok) je charakteristika rozdelenia náhodnej veličiny. Porovnáva dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny s normálnym rozdelením. Zvykne sa označovať $\gamma _{2}$.

Definícia

Nech $X$ je ľubovoľná náhodná premenná a nech jej stredná hodnota je $E(X)=\mu$ a disperzia je $D(X)=\sigma ^{2}$. Potom koeficient špicatosti je definovaný nasledovným podielom:

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}(X)}{\left[D(X)\right]^{2}}}-3$

Pričom $\mu _{4}$ označuje štvrtý centrálny moment náhodnej premennej $X$.

Vlastnosti

Je zrejmé, že môžu nastať tri prípady, a to:

• $\gamma _{2}=0$; v tomto prípade ide o normované normálne rozdelenie.

• $\gamma _{2}>0$; kladný koeficient špicatosti hovorí, že dané rozdelenie pravdepodobnosti je špicatejšie ako normálne rozdelenie.

• $\gamma _{2}<0$; v tomto prípade nastáva opačný prípad ako pri kladnej hodnote koeficientu špicatosti, teda dané rozdelenie pravdepodobnosti je plochšie ako normálne rozdelenie.

Výberový koeficient špicatosti

Výberový koeficient špicatosti je definovaný nasledovným vzťahom:

$g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}=n{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\right)^{2}}}$,

kde ${\overline {X}}$ je výberový premier, $m_{2}$ je výberový rozptyl a $m_{4}$ je štvrtý výberový centrálny moment náhodnej premennej.

Poznámky

• ^ Toto je klasický názov pre túto charakteristiku rozdelenia, no v poslednom čase ho niektorí odborníci označujú ako nie úplne vhodný či výstižný.
• ^ V niektorej literatúre sa zvykne používať aj označenie $\varepsilon$ alebo $\varepsilon _{x}$.
• ^ Namiesto takto definovanej charakteristiky sa v niektorých prípadoch definuje táto charakteristika nasledovne::

$\gamma _{2}\prime ={\frac {\mu _{4}(X)}{\left[D(X)\right]^{2}}}$

Teda:

$\gamma _{2}\prime =\gamma _{2}+3$

Zdroj a referencie

• POTOCKÝ, Rastislav, kolektív Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Bratislava : Vydavateľstvo Alfa, 1991. ISBN 80-05-00524-5. Kapitola Náhodné premenné, s. 388.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Základné pojmy teórie pravdepodobnosti, s. 261.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Koeficient špičatosti na českej Wikipédii.