Kosínus

Kosínus je goniometrická funkcia. V pravouhlom trojuholníku je definovaná ako pomer priľahlej odvesny a prepony. Pre označenie tejto funkcie sa obvykle používa skratka cos a jej grafom je kosínusoida.

Graf funkcie kosínus

Vlastnosti

Funkcia $y=\cos x\,\!$ má nasledujúce vlastnosti (kde k je ľubovoľné celé číslo):

• Definičný obor: $\mathbb {R}$ (reálne čísla)
• Obor hodnôt: $\langle -1;1\rangle$
• Funkcia je rastúca: v každom intervale $\left(\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi \right)$
• Funkcia je klesajúca: v každom intervale $\left(2k\pi ,\pi +2k\pi \right)$
• Funkcia nadobúda maximum rovné 1 v bode : $2k\pi$
• Funkcia nadobúda minimum rovné -1 v bode: $\pi +2k\pi$
• Derivácia: $y'=-\sin x\,\!$
• Integrál: $\int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+c$
• Taylorov rad: $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
• Inverzná funkcia: arkuskosínus (arccos), je to inverzná funkcia k funkcii kosínus zúženej na interval $[0,\pi ]$
• Funkcia:
  • je párna
  • nie je nepárna
  • je ohraničená zhora aj zdola
  • je periodická s periódou $2\pi$
  • je spojitá aj so všetkými deriváciami v celom definičnom obore

Kosínus v komplexnom obore

Funkcia kosínus je v komplexných číslach definovaná súčtom radu

$\cos z=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n}}{(2n)!}}$

ktorý konverguje na celej komplexnej rovine. Pre každé dve komplexné čísla z₁,z₂ platí:

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},$

$\cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\sin z_{1}\sin z_{2},$

$\cos iz=\cosh z,\,$

Tieto vzorce plynú priamo z príslušných definičných mocninových radov daných funkciou. Kosínus je na celej komplexnej rovine jednoznačná holomorfná funkcia.

Kosínus ako riešenie diferenciálnej rovnice

Niekedy je výhodné definovať funkciu kosínus ako riešenie Cauchyho úlohy

$y''(x)+y(x)=0,\ y(0)=1,y'(0)=0.$

Pozri aj

• Goniometria
• Sínus
• Tangens
• Kotangens
• Cyklometrická funkcia
• Kosínusová veta

Externé odkazy

• Funkcia kosínus
• Funkcia kosínus

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Kosínus