Portál:Matematika/Odporúčaný článok/18 2011

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech $f:X\to X$ je zobrazenie. Bod $x\in X$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak $f(x)=x\,$.

Kontraktívne zobrazenie

Nech $(X,d)\,$ je metrický priestor, nech $A\subseteq X\,$. Nech $f:A\to A$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, $0<L<1$ taká, že pre všetky $x_{1},x_{2}\in A$ platí

$d(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq L\cdot d(x_{1},x_{2}).$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre $0<L<1$.

Znenie vety

Nech $(X,d)\,$ je úplný metrický priestor. Nech $f:X\to X$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod $u=f(u)$. Navyše, pre každé $x\in X$ platí $f^{n}(x)\to u$ pre $n\to \infty$ (symbol $f^{n}\,$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí $d(u,f^{n}(x))\leq L^{n}\cdot d(u,x)$.

Celý článok...