Projekčná matica (matematika)

Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) ${\mathbf {P} }$, ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru $n\times n$. Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

Definícia

Majme lineárny podpriestor ${\mathcal {A}}\subset {\mathbf {R} }^{n}$. Maticu ${\mathbf {P} }$ nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor ${\mathcal {A}}$ práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

1. Matica ${\mathbf {P} }$ je symetrická, teda: ${\mathbf {P} }^{T}={\mathbf {P} }$
2. Matica ${\mathbf {P} }$ je idempotentná, teda: ${\mathbf {P} }^{2}={\mathbf {P} }$
3. Projekčná matica ${\mathbf {P} }$ zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: $\forall {\mathbf {x} }\in R^{n}$: ${\mathbf {P} }{\mathbf {x} }\in {\mathcal {A}}$
4. Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore ${\mathcal {A}}$ zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda: $\forall {\mathbf {y} }\in {\mathcal {A}}:{\mathbf {P} }{\mathbf {y} }={\mathbf {y} }$

Ďalšie vlastnosti

Uvažujme projektor ${\mathbf {P} }$ definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

$\forall {\mathbf {x} },{\mathbf {y} }\in {\mathbf {R} }^{n}:\langle {\mathbf {x} },{\mathbf {P} y}\rangle =\langle {\mathbf {P} x},{\mathbf {y} }\rangle$

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.

Pokiaľ máme maticu ${\mathbf {M} }$, ktorá je typu $n\times m$, pričom jej hodnosť je $m$, tak potom matica ${\mathbf {P} }$ určená nasledovným vzťahom:

${\mathbf {P} }={\mathbf {M} }({\mathbf {M} }^{T}{\mathbf {M} })^{-1}{\mathbf {M} }^{T}$

je ortogonálny projektor na podpriestor ${\mathcal {A}}({\mathbf {M} })$, ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice ${\mathbf {M} }$, a na ktorom je definovaný skalárny súčin $\langle {\mathbf {a} },{\mathbf {b} }\rangle ={\mathbf {a} }^{T}{\mathbf {b} }$.

Zdroj

• ŠTULAJTER, František. Odhady v náhodných procesoch. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1989. ISBN 80-05-00052-9. Kapitola Vybrané partie z matematiky, s. 288.
• Projection Matrix [online]. mathworld.wolfram.com, [cit. 2013-10-19]. Dostupné online. (po anglicky)
• HARMAN, Radoslav. Mnohorozmerné štatistické analýzy [online]. Katedra aplikovanej matematiky a štatistiky UK v BA, 2013-03-06, [cit. 2013-10-20]. Dostupné online. ^{[nefunkčný odkaz]}