Reciproká rovnica
Reciproká rovnica alebo recipročná rovnica n-tého stupňa prvého, resp. druhého druhu je algebraická rovnica
kde
- je reciproký mnohočlen 1. druhu (kladne reciproký)
- je reciproký mnohočlen 2. druhu (záporne reciproký)
Pre reciprokú rovnicu je teda charakteristická symetria koeficientov, ide teda vlastne o špeciálny prípad algebrickej rovnice, ktorú vďaka tejto vlastnosti dokážeme riešiť vhodnými substitúciami.[1]
Postup riešenia upraviť
- každá reciproká rovnica druhého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = 1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x−1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu.
- každá reciproká rovnica prvého druhu, nepárneho stupňa má koreň c = −1. Ak ju vydelíme dvojčlenom (x+1), dostaneme reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa.
- reciprokú rovnicu prvého druhu, párneho stupňa n je možné previesť na algebraickú rovnicu polovičného stupňa vydelíme výrazom a substitúciou:
Z vyššie uvedených skutočnosti možno ľahko odvodiť, že ak je číslo riešením reciprokej rovnice, potom aj číslo je jej riešením. V prípade koreňa je to , čo je triviálny prípad.
Príklady reciprokých rovníc upraviť
Je to reciproká rovnica prvého druhu tretieho stupňa.
Je to reciproká rovnica prvého druhu štvrtého stupňa.
Je to reciproká rovnica druhého druhu štvrtého stupňa.
Je to reciproká rovnica prvého druhu štvréto stupňa.
a teda to nie je reciproká rovnica.[2]
Príklady upraviť
Riešte rovnicu
- Ide o reciprokú rovnicu prvého druhu párneho stupňa. Rovnicu vydelíme výrazom
- | rovnicu si vhodne upravíme
- | zavedieme substitúcie a
- a teda =
- ,
Spätným dosadením do dostávame
- , je teda dvojnásobný koreň.
ďalšie dva korene dostaneme z:
- keďže diskriminant je záporný, rovnica nemá reálne korene a riešením je teda
Referencie upraviť
- ↑ Reciproké rovnice [online]. rovnice.kosanet.cz, 2008, [cit. 2016-05-10]. Dostupné online. Archivované 2016-03-03 z originálu.
- ↑ Reciproké rovnice [online]. http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/, 2010-201, [cit. 2016-05-10]. Dostupné online.
Pozri aj upraviť
Externé odkazy upraviť
- Riešenie sústavy lineárnych rovníc Archivované 2016-03-03 na Wayback Machine Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
- Riešenie reciprokych rovníc. www.vypocty.sk Archivované 2017-10-08 na Wayback Machine Postup riešenia.