Rovinný graf

Príklady grafov
Rovinné	Nerovinné
	K5
Kompletný graf K4	K3,3

Rovinný graf alebo planárny graf je taký graf G = (V, H), ktorého diagram v rovine možno zostrojiť tak, že dve rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Inými slovami: graf je rovinný, ak sa dá nakresliť v rovine tak, že vrcholy sú body roviny, hrany sú oblúky (krivky) a žiadne dve hrany sa nepretínajú.

Medzi rovinné grafy patria všetky stromy a grafy $K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}$, teda všetky grafy s počtom vrcholov minimálne jedna a maximálne štyri. Ďalšou charakteristikou je fakt, že Eulerova veta je platná pre akýkoľvek planárny graf.

Eulerova veta

Eulerova veta: v + s = h + 2; kde v – počet vrcholov, s – počet oblastí (štátov), h – počet hrán (hraníc).

Dôkaz

Dôkaz Eulerovej vety urobíme indukciou vzhľadom na počet hrán $h$. Veta zrejme platí v grafoch bez hrán. Predpokladajme teraz, že platí pre všetky rovinné grafy, ktoré majú menej ako $h$ hrán (indukčný predpoklad). Nech $G$ je rovinný graf s $h$ hranami. Budeme rozlišovať dva prípady:

a) Nech $G$ obsahuje most. Potom po vynechaní mostu sa rozpadne na dva rovinné grafy $G_{1}$, $G_{2}$. Nech počet vrcholov, hrán a oblastí grafu $G_{1}$ je $v_{1}$, $h_{1}$, $s_{1}$ a grafu $G_{2}$ je $v_{2}$, $h_{2}$, $s_{2}$. Pre $G_{1}$ a $G_{2}$ už (podľa indukčného predpokladu) veta platí. Teda máme $h_{1}=v_{1}+s_{1}-2$, $h_{2}=v_{2}+s_{2}-2$. Ďalej $v_{1}+v_{2}=v$ – počet vrcholov grafu $G$, $h_{1}+h_{2}=h-1$, $s_{1}+s_{2}=s+1$ (vynechaním mostu sa počet oblastí nemení, ale v súčte $s_{1}+s_{2}$ sa vonkajšia oblasť započíta dvakrát). Z posledných rovností a z uvedených vzťahov vyššie dostaneme: $h=h_{1}+h_{2}+1=(v_{1}+s_{1}-2)+(v_{2}+s_{2}-2)+1=(v_{1}+v_{2})+(s_{1}+s_{2})-3=v+(s+1)-3=v+s-2$.

b) Nech $G$ neobsahuje most. Potom zoberme ľubovolnú hranu $h$. Hrana $h$ je obsiahnutá v nejakej kružnici. Zoberme najkratšiu kružnicu $C$, v ktorej je hrana $h$ obsiahnutá. Vnútri kružnice $C$ sa pri vhodnom kreslení diagramu grafu nachádza nejaká oblasť, ktorá vynechaním hrany $h$ zanikne. Teda, ak $G'$ má práve o jednu oblasť menej ako $G$. Pritom má ten istý počet vrcholov. Pre $G'$ však veta platí, preto platí aj pre $G$. Tým je dôkaz ukončený.

Dôsledky Eulerovej vety

Dôsledok 1

Ak $G$ je rovinný graf, v ktorom všetky oblasti sú ohraničené kružnicami $C_{n}$, tak $h={\frac {n(v-2)}{n-2}}$.

Dôsledok 2

Keď $G$ je rovinný graf s $v\geq 3$ vrcholmi a s maximálnym počtom hrán, tak každá oblasť je $C_{3}$ a platí $h=3v-6$.

Dôsledok 3

Ak v rovinnom grafe sú všetky oblasti ohraničené kružnicami $C_{4}$, tak $h=2v-4$.

Predpokladajme, že máme diagram planárneho grafu, ktorý je nakreslený v zmysle definície, ktorá hovorí o zostrojení diagramu tak, že rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Takýto diagram rozdeľuje hranami rovinu na disjunktné oblasti (ak obsahuje aspoň jednu kružnicu) a tie budeme nazývať oblasťami planárneho grafu. Vonkajšia oblasť je tá z oblastí, ktorá je neohraničená.

Nech G = (V,H) je súvislý planárny graf a nech r je počet oblastí grafu G. Potom platí:

|H| − |V| + 2 = r. (Eulerova formula)

Použitím cyklomatického čísla grafu môžeme Eulerov vzorec zapísať v tvare:

r = μ(G) + 1,

v ktorom má ľahko zrozumiteľnú interpretáciu – počet oblastí planárneho grafu je rovný počtu nezávislých kružníc grafu zväčšenému o 1 (za vonkajšiu oblasť). Cyklomatické číslo grafu G, ktoré nám vlastne udáva minimálny možný počet hrán, odobraním ktorých je možné z grafu odstrániť všetky kružnice, vieme matematicky vyjadriť nasledovne:

μ(G) = |H| − |V| + p,

kde p je počet komponentov. Komponentom grafu G patriacim k vrcholu v grafu G nazývame súhrn všetkých prvkov grafu G, ktoré patria do niektorej cesty začínajúcej sa vo vrchole v. Každý graf sa skladá z komponentov. Graf s jedným komponentom sa nazýva súvislý. Ak sa v slede neopakuje ani jedna hrana a ani jeden vrchol, nazýva sa cesta. Sledom z vrcholu u do vrcholu v nazývame konečnú postupnosť $[v_{0},h_{1},v_{1},h_{2},...v_{(}n-1),n,v_{n}],n\in N$, kde $v_{0},..v_{n}$ sú vrcholy grafu $(v_{0}=u,v_{n}=v),h_{1},...h_{n}$ sú hrany grafu. Pritom predpokladáme, že každá hrana $h_{i}(i=1,..,n)$ spája vrcholy $v_{(}i-1)av_{i}$. Počet hrán v slede sa nazýva dĺžka sledu. Ak $u=v$, sled nazývame uzavretý, v opačnom prípade otvorený.

Eulerova veta formuluje iba nutnú podmienku pre planaritu grafu, nie postačujúcu. Vyplýva z nej však viacero dôsledkov použiteľných na charakterizáciu planarity.

Veta

Graf G je planárny práve vtedy, ak neobsahuje podgraf homeomorfný s niektorým z grafov $K_{5}$ a $K_{3,3}$.

Táto veta rieši problematiku planárnosti grafov s využitím výhradne kombinatorických prostriedkov (bez kreslenia diagramu grafu). V roku 1930 ju dokázal poľský matematik Kuratowski.

Grafy $G_{1}$ a $G_{2}$ sú homeoformné, ak sú izomorfné, alebo konečným počtom rozpoľovania hrán v týchto grafoch dostaneme také grafy, ktoré budú izomorfné.

Tvrdenie (Maximálny počet hrán rovinného grafu)

• Nech G = (V, E) je rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi. Potom |E|≤ 3|V|-6. Navyše rovnosť nastáva pre každý maximálne rovinný graf; t. j. rovinný graf, ku ktorému nejde pridať žiadnu hranu (pri zachovaní množiny vrcholov) tak, aby zostal rovinným.
• Ak neobsahuje najviac uvažovaný rovinný graf trojuholník (t. j. K3 ako podgraf) a má aspoň 3 vrcholy, potom |E|≤2|V|−4.

V tomto tvrdení nepripúšťame grafy s násobnými hranami.

Neplanárne grafy

Graf, ktorý nie je planárny, sa nazýva neplanárny. Všeobecne pre neplanárne grafy je možné nakresliť diagram grafu len tak, že niektoré hrany sa krížia v nekoncových bodoch. Pre daný graf G môžeme určiť:

• priesečníkové číslo grafu G je minimálny počet dvojíc hrán, ktoré sa krížia (pretínajú) pri ľubovoľnom nakreslení diagramu grafu G
• hrúbka grafu G je minimálny počet jeho planárnych podgrafov zjednotením ktorých dostávame graf G
• jemnosť grafu G je maximálny počet hranovo disjunktných neplanárnych podgrafov grafu G

Tieto miery možno nazvať kombinatorickými mierami neplanárnosti grafov. Existuje ešte jedna miera, ktorá má čisto geometrickú interpretáciu: rod grafu – je to minimálny počet premostení, ktoré treba pridať ku guli, aby sa na jej povrchu dal nakresliť diagram príslušného grafu bez pretínania sa hrán. Planárne grafy majú teda rod 0, rod 1 majú grafy, ktorých diagramy môžeme nakresliť na anuloid (“pneumatiku”).

Príklady pre neplanarne grafy

Príkladom sú už uvedené grafy K5, K3, 3. Uvedené grafy predstavujú zároveň minimálne neplanárne grafy: K5 má najmenší počet vrcholov (5) a K 3,3 má najmenší počet hrán (9). Ukazuje sa, že tieto dva grafy hrajú veľmi významnú úlohu v súvislosti s planaritou grafov.

Kuratowského veta

Graf G je rovinný práve vtedy, ak nie je žiadny jeho podgraf izomorfným delením grafu K5 ani K3,3. K5 označuje úplný graf na piatich vrcholoch; K3,3 je úplný bipartitný graf.

Mnohosteny (Platónske telesá)

Antická škola mysliteľov spájaná s Platónovým menom sa zaoberala pravidelnými geometrickými útvarmi, takzvané pravidelné mnohosteny, a hľadala ich v základoch stavby vesmíru. Pravidelný mnohosten je trojrozmerné teleso, ohraničené konečným počtom stien – rovnakých pravidelný mnohouholníkov, kde sa v každom vrchole spája rovnaký počet stien (strán) a hrán.

Konvexný mnohosten je planárnymi grafom ak:

1. Všetky jeho strany sú zhodné konvexné mnohouholníky,
2. Žiadne jeho steny sa nepretínajú inde ako na hrane,
3. Rovnaký počet strán sa dotýka v každom vrchole.

Každý planárny graf môže byť preto označený znakom {p,q} , kde:

• p = počet hrán každej strany (alebo počet vrcholov každej strany),
• q = počet strán stretávajúcich sa v každom vrchole (alebo počet hrán stretávajúcich sa vo vrchole)

Znak {p,q} sa nazýva Schälfiho znak, dáva kombinatoricky popis mnohostena.

História planárnych (rovinných) grafov

Planárne grafy sú známe už od antiky. Ich ornamentové modely môžu byť nájdené medzi ozdobnými kamennými guľami vyrobenými v neskorom neolite v Škótsku najmenej 1000 rokov pred Platónom. Antickí Gréci rozsiahlo študovali planárne grafy. Niektoré zdroje pripisujú objavenie Pytagorovi. Iné hovoria o tom, že bol iba oboznámený so štvorstenom, kockou a 12-stenom a že objavenie osemstena a 20-stena patri Theaetetovi, jednému z Platónových žiakov. Theaetetus dal matematický popis všetkým piatim útvarom a je zodpovedný za prvý známy dôkaz, že nie sú žiadne iné vypuklé pravidelné mnohosteny. Euklides dal kompletný matematický popis planárnych grafov v Elementoch, poslednej knihe, ktorá bola zasvätená ich vlastnostiam. V knihe popisuje zostrojenie štvorstena, kocky, osemstena, dvanásťstena a dvadsať stena. Pre každý útvar Euklides našiel pomer priemeru opísanej guľe k dĺžke hrany. Taktiež tvrdil, že nie je viac vypuklých pravidelných mnohostenov.

V 16. storočí sa nemecký astronóm Johannes Kepler pokúsil nájsť závislosť medzi vtedy známymi planétami a piatimi planárnymi grafmi. V 1596 predložil model slnečnej sústavy, v ktorej týchto 5 grafov bolo posadených dovnútra ďalšieho a oddelených sériou vpísaných a ohraničených oblastí. 6 oblastí, pričom každá z nich súhlasila s jednou z planét (Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter a Saturn). Grafy boli zoradené od najvnútornejšieho osemstena, nasledoval dvadsaťsten, dvanásťsten, štvorsten a nakoniec kocka. Týmto spôsobom štruktúra slnečnej sústavy a vzťah medzi vzdialenosťami planét boli určené planárnymi grafmi. Nakoniec od Keplerovho originálneho nápadu muselo byt upustené, ale jeho výskum dospel k tomu, že obežné dráhy planét sú elipsy, taktiež jeho dva zákony orbitálnej dynamiky ovplyvnili fyziku a astronómiu, plus objavil Keplerove grafy.

Silne rovinný graf

Rovinný graf sa nazýva silne rovinný ak ho možno v rovine nakresliť tak, že všetky vrcholy ležia na hranici jednej oblasti.

Veta

Silne rovinný v-vrcholový graf má maximálne $2v-3$ hrán.

Literatúra

• Znám, Š: Kombinatorika a teória grafov. Bratislava, Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského. 1982, s. 60 – 61