Rozptyl (štatistika)
Rozptyl (iné názvy: variancia, disperzia, stredná kvadratická odchýlka, stredná kvadratická fluktuácia) je najčastejšie používaná miera variability.
Hodnota rozptylu je závislá od odchýlky štatistiky od priemeru. Ak chápeme štatistický súbor ako realizáciu náhodného výberu z určitého rozdelenia, potom rozptyl určuje strednú kvadratickú odchýlku jednotlivých nameraných hodnôt od výberového priemeru.
Definícia upraviť
Nech je náhodná premenná, ktorá nadobúda konečne alebo spočítateľne veľa hodnôt. Potom definujeme rozptyl ako
- .
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\sum _{k=1}^{\infty }(x_{k}-\mathrm {E} [X])^{2}\cdot \mathrm {Pr} [X=x_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cec342e4c34966076d9a7c6777e94c1ced3bcaf)
Ďalším často používaným vzťahom na výpočet rozptylu je
- ,
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe9dff486f2395c99829272458c2e8d2afe31905)
ku ktorému môžeme prísť odvodením zo základného vzťahu. Ak je každý výsledok rovnako pravdepodobný a je ich konečne veľa, uvedený vzťah možno prepísať do tvaru
- .
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\mathrm {E} [X])^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7a07314143a5993333da64b6f63cca9d1439c7)
Ak uvažujeme náhodnú premennú , ktorá nadobúda nekonečne veľa, resp. nespočítateľne veľa hodnôt, teda je spojitá, používame na výpočet variancie vzťah
- ,
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathrm {E} [X])^{2}f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338cfc25951cb600d75a6323d3b3425f6131784)
kde je funkcia hustoty pravdepodobnosti príslušného rozdelenia.
Vlastnosti rozptylu upraviť
- Rozptyl má aditívnu vlastnosť len v prípade, že náhodné premenné v jeho argumente sú nezávislé.
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X+Y]=\mathrm {Var} [X]+\mathrm {Var} [Y]+2\mathrm {Cov} [X,Y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082a6714e3527bd09455156ff12bb3e7903dc7aa)
- Pri transformácii náhodnej premennej , kde je konštanta platí
![{\displaystyle \mathrm {Var} [\alpha X]=\alpha ^{2}\mathrm {Var} [X]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dedb10927f583c19bf34c8a1471b35c73d342c2)
- Rozptyl môžeme prepísať z definičného tvaru do nasledovného, z ktorého je jasné, že ide o strednú hodnotu istej transformácie pôvodnej náhodnej premennej
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\mathrm {E} \left[(X-\mathrm {E} [X])^{2}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c238da8f445f976dd83dbb487efdfe078fde2415)
Použitie a príklady upraviť
Hodnota rozptylu je vždy kladná, čo vyplýva z toho, že pracujeme s druhou mocninou odchýlky. Druhú odmocninu z rozptylu nazývame smerodajná odchýlka a označujeme
![{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\mathrm {Var} [X]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920601c2893784138926689b0fb08723714ce02f)
Pomocou štandardnej odchýlky a korelačného koeficientu možno vyjadriť kovarianciu nasledovným spôsobom
![{\displaystyle \mathrm {Cov} [X,Y]=\rho _{XY}\sigma _{X}\sigma _{Y}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f3ece7640f1ec214c07ad94e8436bc9715cd8d)
Rozptyl vystupuje aj v dôležitej Čebyševovej nerovnosti, ktorá sa využíva pri dôkaze slabého zákona veľkých čísel.
Príklad upraviť
Rozptyl rovnomerného rozdelenia na intervale [-1,+1] je
![{\displaystyle \mathrm {Var} [X]=\int \limits _{-1}^{+1}(x-0)^{2}{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{-1}^{+1}={\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f291508d0361b5c863e0abd3c21366b2972c3c)