Snellov zákon

Snellov zákon alebo Snellov zákon lomu je jeden zo základných zákonov geometrickej optiky; opisuje lom lúča svetla (či všeobecnejšie elektromagnetického žiarenia) na rovinnom rozhraní. Je pomenovaný podľa holandského fyzika Willebrorda Snellia.

Znenie zákona

Lom svetla

Ak lúč prechádza z prostredia s indexom lomu $n_{1}$ pod uhlom $\theta _{1}$ do prostredia s indexom lomu $n_{2}$, zalomí sa pod uhlom $\theta _{2}$:

$\sin {\theta _{1}}n_{1}=\sin {\theta _{2}}n_{2}$

$\sin {\theta _{2}}=\sin {\theta _{1}}{\frac {n_{1}}{n_{2}}}$

Je zrejmé, že sínus uhla $\theta _{2}$ môže byť najviac 1. Ak je uhol $\theta _{1}$ dostatočne veľký a $n_{1}>n_{2}$, môže nastať situácia, keby $\sin {\theta _{2}}$ vychádzal väčší ako 1. Vtedy sa svetlo neláme a do druhého prostredia vôbec neprechádza. Hovoríme o takzvanom úplnom (totálnom) odraze (reflexii), pretože všetko dopadajúce svetlo sa odrazí podľa zákona odrazu.

Pre medzný uhol $\theta _{1}$, kedy sa svetlo prestáva lámať, platí:

$\sin {\theta _{1}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Pre prechod z prostredia do prostredia je užitočný zápis pomocou rýchlostí. Vieme, že pre rýchlosť šírenia svetla v prostredí platí:

$v_{i}=c/n_{i}$

Zákon lomu možno preto upraviť na tvar:

${\frac {\sin {\theta _{1}}}{\sin {\theta _{2}}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}$

Odvodenie

Snellov zákon sa zvyčajne odvodzuje pomocou princípu najmenšieho času.

Princíp najkratšieho času nie je fyzikálny zákon v pravom zmysle slova. Formuloval ho francúzsky matematik Pierre de Fermat okolo r. 1650. Podľa neho, svetlo sa šíri z bodu A do bodu B po takej trajektórii, aby do bodu B prišlo za čo najkratší čas. V súčasnosti sa slovo najkratší často nahradzuje slovom extremálny.

Zaveďme si, že bod A sa nachádza v kolmej vzdialenosti $a_{\perp }$ od roviny optického rozhrania, bod B v kolmej vzdialenosti $b_{\perp }$ na druhej strane rozhrania a ich vzdialenosť v smere roviny rozhrania je $d_{=}$. Najkratšia dráha sa zrejme bude nachádzať v rovine kolmej na rovinu rozhrania. Preto uvažujme to. Ďalej predpokladajme, že lúč dopadá vo vzdialenosti $x$ od päty kolmice na A do nejakého bodu X. Lúč sa bude pohybovať po úsečke AX a potom po úsečke XB. Čas, za aký prejde lúč z bodu A do bodu B po tejto trajektórii bude:

$t={\frac {\sqrt {a_{\perp }^{2}+x^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b_{\perp }^{2}+(d_{=}-x)^{2}}}{v_{2}}}$

Chceme zistiť, kde musí ležať bod X, a teda aká musí byť vzdialenosť $x$, aby bol tento čas minimálny. Preto tento čas zderivujeme podľa premennej $x$ a túto deriváciu položíme rovnú 0:

${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {a_{\perp }^{2}+x^{2}}}}}-{\frac {d-x}{v_{2}{\sqrt {b_{\perp }^{2}+(d_{=}-x)^{2}}}}}=0$

Ak si nakreslíme obrázok, vidíme že niektorého výrazy v našej rovnici sa dajú nahradiť funkciami uhlov. Výraz sa tak zjednoduší na:

${\frac {\sin {\theta _{1}}}{v_{1}}}={\frac {\sin {\theta _{2}}}{v_{2}}}$

Dostávame Snellov zákon:

${\frac {\sin {\theta _{1}}}{\sin {\theta _{2}}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}$

Praktické následky

• Index lomu vzduchu je síce len málo odlišný od 1, ale predsa len väčší ako 1. To spôsobuje, že slnečné lúče sa v atmosfére lámu. Pri obzore sa slnko zdá byť o 1/2° vyššie, ako v skutočnosti je. Slnko sa taktiež javí sploštené.
• Za predpokladu, že rýchlosť šírenia svetla v prostredí sa mení lineárne (napr. hustnúci vzduch v atmosfére), dá sa ukázať, že trajektóriou lúča je kružnicový oblúk.
• V dôsledku prehriatia vzduchu nad horúcimi povrchmi môže ich index lomu poklesnúť. Takto môže vo vzduchu dochádzať k totálnemu odrazu, ktorý nazývame fatamorgána.
• Snellov zákon možno použiť na optimalizáciu trajektórie telies aj v mechanike. Typickou úlohou na tento problém je optimalizácia dráhy Boba, ktorý beží za Alicou, pričom musí prebehnúť pás bahna, pás poľa a pás lúky a v každom páse sa pohybuje inou rýchlosťou. Bob chce vedieť, po akej dráhe má bežať, aby za Alicou prišiel za čo najkratší čas.