Hyperbolická dráha

Hyperbolická dráha v astrodynamike alebo nebeskej mechanike je trajektória akéhokoľvek telesa okolo centrálneho telesa, ktorého rýchlosť je dostatočná, aby toto teleso uniklo gravitácii centrálneho telesa.

Diagram Keplerových dráh a ich excentricita. Modrá krivka v tomto obrázku je príkladom hyperbolickej dráhy, zelená parabolickej, červená eliptickej a sivá kruhovej.

Hyperbolická dráha je zobrazená v pravo dole, kde gravitačná studňa (čierna) centrálnej hmoty ukazuje potenciálnu energiu a kinetická energia hyperbolickej trajektórie je zobrazená červenou farbou. S rastúcou vzdialenosťou od centra kinetická energie s poklesom rýchlosti klesá a gravitačná sa zvyšuje. Časť kinetickej energie, ktorá zostáva nad nulovou celkovou energiou, je spojená s hyperbolickou rýchlosťou v nekonečne. Vľavo hore je kruhová, vedľa eliptická a vľavo dole parabolická dráha.

Za zjednodušených predpokladov letí teleso po hyperbolickej dráhe do nekonečna, kde dosiahne konečnú rýchlosť. Podobne ako parabolické trajektórie sú všetky hyperbolické trajektórie tiež únikovými trajektóriami. Špecifická energia hyperbolickej dráhy je pozitívna (ε>0).

Hyperbolická dráha je Keplerova dráha s excentricitou väčšou ako 1.

Parametre popisujúce hyperbolickú dráhu

Rovnako ako eliptická môže byť aj hyperbolická dráha definovaná pre daný systém jeho hlavnou polosou a excentricitou. Pre pochopenie pohybu telesa po hyperbolickej dráhe sú užitočné ďalšie parametre. Nasledujúca tabuľka uvádza hlavné parametre opisujúce dráhu telesa po hyperbolickej trajektórii.

Hyperbolic trajectory equations

Element	Symbol	Formula	using $v_{\infty }$ (or $a$), and $b$
Standard gravitational parameter	$\mu \,$	${\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}$	$bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }$
Eccentricity (>1)	$e$	${\frac {\ell }{r_{p}}}-1$	${\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}$
Semi-major axis (<0)	a	$1/(2/r-v^{2}/\mu )$	$-\mu /v_{\infty }^{2}$
Hyperbolic excess velocity	$v_{\infty }$	${\sqrt {-\mu /a}}$
(External) Angle between asymptotes	$2\theta _{\infty }$	$2\sin ^{-1}(-1/e)$	$\pi +2\tan ^{-1}(b/a)$
Impact parameter (semi-minor axis)	$b$	$-a{\sqrt {e^{2}-1}}$	${\displaystyle }$
Semi-latus rectum	$\ell$	$a(1-e^{2})$	$b^{2}/a=h^{2}/\mu$
Periapsis distance	$r_{p}$	$a(1-e)$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a$
Specific orbital energy	$\varepsilon$	$-\mu /2a$	$v_{\infty }^{2}/2$
Specific angular momentum	$h$	${\sqrt {\mu \ell }}$	$bv_{\infty }$

Hlavná polos, špecifická a charakteristická energia, hyperbolická rýchlosť v nekonečne

Pri hyperbolickej trajektórii hlavná polos ( $a\,\!$) nie je zreteľná, ale môže byť skonštruovaná. Je to vzdialenosť od periapsidy k bodu, v ktorom sa pretínajú asymptoty.

Hlavná polos (a) je spojená so špecifickou obežnou energiou (ε) a charakteristickou energiou ( C₃ ) cez hyperbolickú rýchlosť v nekonečne ( $v_{\infty }\,\!$).

$v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a$

$a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}$ $a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}$

kde: $\mu =Gm\,\!$ je štandardný gravitačný parameter a $C_{3}$je charakteristická energia, bežne používaná pri plánovaní medziplanetárnych misií.

V prípade hyperbolickej trajektórie je celková energia pozitívna, pre eliptickú obežnú dráhu je negatívna.

Rýchlosť

Obežnú rýchlosť ( v ) telesa pohybujúceho sa po hyperbolickej trajektórii možno vypočítať z rovnice vis-viva ako:

$v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}$

kde:

• $\mu \,$ je štandardný gravitačný parameter ,
• $r\,$ je radiálna vzdialenosť obiehajúceho telesa od centrálneho telesa ,
• $a\,\!$ je (záporná) hlavná polos .

Pre obežnú rýchlosť ( v ) platí nasledujúci vzťah:

$v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}$

v_esc je úniková rýchlosť a $v_{\infty }\,\!$ je hyperbolická rýchlosť v nekonečne.

Radiálna hyperbolická dráha

Radiálna hyperbolická dráha je neperiodická trajektória na priamke, kde relatívna rýchlosť oboch objektov vždy prekračuje rýchlosť úniku. Existujú dva prípady: telesá sa vzďaľujú od seba alebo sa k sebe približujú. Ide o hyperbolickú obežnú dráhu s hlavnou polosou = 0 a excentricitou = 1. Hoci excentricita je 1, toto nie je parabolická obežná dráha.

Pozri aj

• Keplerova dráha

• Obežná dráha
• Kruhová dráha
• Eliptická dráha
• Parabolická dráha

Referencie

• VALLADO, David A.. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Third Edition. Hawthorne, CA. : Hawthorne Press, 2007. ISBN 978-1-881883-14-2.

Externé odkazy

• https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
• https://web.archive.org/web/20050316084931/http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html
• http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm#hyperbolic

Zdroj

Fyzikálny portál Astronomický portál Kozmonautický portál

Tento článok je čiastočný preklad článku Hyperbolic trajectory na anglickej Wikipédii.