Pozičná číselná sústava

Pozičná číselná sústava je dnes prevládajúci spôsob písomnej reprezentácie čísel - dokonca ak sa dnes hovorí o číselných sústavách, sú tým zvyčajne myslené sústavy pozičné. V tomto spôsobe zápisu čísel je hodnota každej číslice daná jej pozíciou v sekvencii symbolov. Každá číslica má touto pozíciou danú svoju váhu na výpočet celkovej hodnoty čísla. Zrejme nevyhnutným predpokladom pre vynájdenie pozičných sústav je objavenie symbolu pre nulu.

Výhodou tohto spôsobu zápisu je veľká pružnosť a pomerne malá množina číslic. Za nevýhodu je považovaná veľmi ľahká zmena hodnoty čísla jednoduchým pripísaním číslice pred pôvodné číslo. Preto sa pred peňažné čiastky v banke zvyčajne píše vlnovka, ktorá taký spôsob falšovania znemožňuje.

Základné informácie

Kľúčovou charakteristikou pozičných sústav je ich základ. To je zvyčajne prirodzené číslo väčšie ako jedna. Váhy jednotlivých číslic sú potom mocninami tohto základu. Zároveň základ určuje počet symbolov pre číslice používané v danej sústave. Základ zvyčajne značíme z, v literatúre sa však možno stretnúť aj so značením ako r z anglického "radix".

V pozičných číselných sústavách má tiež zmysel hovoriť o rádoch čísel. Kde za rád číslice považujeme jej váhu a za rád čísla maximálnu váhu nenulovej číslice.

Desiatková sústava, nazvaná podľa svojho základu (10) má desať symbolov pre číslice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. Váhy jednotlivých číslic sú mocniny čísla 10: ...; 1000; 100; 10; 1; 0,1; 0,01; ... Pre sústavy o vyššom základe ako je tradičný počet číslic (teda desať) sa pre vyššie číslice používajú písmená bez akcentov. Napríklad šestnástková sústava tak má symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E a F.

Spôsob zápisu

V bežne používaných číselných sústavách sa jednotlivé číslice zapisujú za seba, nijako sa neoddeľujú. Čiarka odlišuje len celú a zlomkovú časť čísla. Niekedy sa pre prehľadnosť oddeľujú tiež významnejšie rády: tisíce, milióny, a pod. Číslo N v sústave o základe z sa tak zapisuje:

$N=(n_{k-1}n_{k-2}...n_{1}n_{0}{,}n_{-1}n_{-2}...n_{-l})_{r}\,\!$, Kde $n_{k-1}\,\!$ je najvyššia významová číslica, $n_{-l}\,\!$ najmenej významová číslica a $r$ základ číselnej sústavy.

Takému zápisu sa hovorí jednoducho pozičný zápis, pretože pozícia každej číslice v danom čísle predstavuje jej relatívnu váhu významnosti. Pritom sa porovná s jednotkou (nultú mocninou základu) tým, že sa za jednotky zapíše jednotkový znak (desatinná čiarka).

V prípade desiatkovej sústavy sa číslo podľa konvencie nezapisuje do zátvoriek, ani nie je nutné k nemu písať jeho základ.

Napríklad Ludolfovo číslo v číselnej sústave o základe 10 a s presnosťou na 2 desatinné čísla možno zapísať pozične nasledovne: $\pi =(3{,}14)_{10}\,\!$

Určenie hodnoty

Hodnotu čísla N zapísanáho v danej sústave o základe z získame ako súčet hodnôt jednotlivých číslic vynásobených ich váhou. Teda napríklad hodnotu čísla (10010)₂ získame takto:

$(10010)_{2}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}=0+2+0+0+16=18$

Takému zápisu sa hovorí polynomiálny zápis. Všeobecne možno zapísať číslo v číselnej sústave o základe r polynómom nasledovne:

$N=\sum _{i=-l}^{k-1}n_{i}{\cdot }r^{i}=n_{k-1}r^{k-1}+n_{k-2}r^{k-2}+...+n_{0}r^{0}+n_{-1}r^{-1}+...+n_{-l+1}r^{-l+1}+n_{-l}r^{-l}$

Každá číslica $n_{i}$ sa tu vynásobí váhou, ktorá je daná jej pozíciou $i$ a ktorá je vyjadrená mocninou o základe $r$.

Zápis čísla v danej sústave

Postup pre zápis čísla v danej číselnej sústave sa líši pre jeho celú a zlomkovú časť.

Pre prenos čísla medzi sústavami možno použiť substitučnú metódu pri použití aritmetiky cieľovej sústavy alebo pre celé čísla metódu delenia základom a pre desatinné čísla metódu násobenia základom.

Celá časť čísla (metóda delenia základom)

Pre prevod celej časti - alebo tiež prevod kladných celých čísel - možno použiť nasledujúci postup:

1. Prevádzané číslo celočíselne delíme základom cieľovej sústavy
2. Vychádzajúce zvyšky zapisujeme odzadu
3. Výsledok delenia použijeme v ďalšom cykle algoritmu
4. Predchádzajúce kroky opakujeme, kým nie je výsledkom delenia nula

Čo v konkrétnom prípade (158)₁₀= (x)₂ znamená:

$158\,:\,2\,=\,79\,zb.\,0$

$79\,:\,2\,=\,39\,zb.\,1$

$39\,:\,2\,=\,19\,zb.\,1$

$19\,:\,2\,=\,9\,zb.\,1$

$9\,:\,2\,=\,4\,zb.\,1$

$4\,:\,2\,=\,2\,zb.\,0$

$2\,:\,2\,=\,1\,zb.\,0$

$1\,:\,2\,=\,0\,zb.\,1$

Ak zapíšeme zvyšky do radu zdola, je výsledok: (158)₁₀= (10011110)₂

Zlomková časť čísla (metóda násobenia základom)

Pre časť čísla za "desatinnou čiarkou" sa postupuje podobne - len sa namiesto delenia násobí. Postup je teda nasledujúci:

1. Zlomkovú (desatinnú) časť násobíme základom cieľovej sústavy
2. Výsledok rozdelíme na celú a zlomkovú časť, zlomkovú časť použijeme v ďalšej iterácii algoritmu
3. Cela časť získaného čísla je príslušnou číslicou požadovaného zápisu v inej číselnej sústave
4. Predchádzajúce kroky sa opakujú, až kým nie je dosiahnutý zvyšok 0 alebo požadovaná presnosť výsledku

Zápis čísla (0,6789)₁₀= (x)₂ teda možno získať nasledovne:

$0{,}6789\,\cdot \,2\,=\,1{,}3578\,=\,1\,+\,0{,}3578$

$0{,}3578\,\cdot \,2\,=\,0{,}7156\,=\,0\,+\,0{,}7156$

$0{,}7156\,\cdot \,2\,=\,1{,}4312\,=\,1\,+\,0{,}4312$

$0{,}4312\,\cdot \,2\,=\,0{,}8624\,=\,0\,+\,0{,}8624$

$0{,}8624\,\cdot \,2\,=\,1{,}7248\,=\,1\,+\,0{,}7248$

Potom teda (0,6789)₁₀= (0,10101)₂

Priame prevody medzi sústavami

Ukážka k príkladu

1	0	0	1	0	0	0	1
9				1

Bežný postup pri prevode čísel medzi dvoma číselnými sústavami je prevod cez desiatkovú sústavu. Ak však základ jednej sústavy je mocninou základu sústavy druhej, možno postupovať aj priamo. Obvykle sa tento postup používa pri prevode medzi dvojkovou a šestnástkovou. Pretože je 16=2⁴, zodpovedá každým štyrom čísliciam dvojkového čísla práve jedna číslica šestnástková. V danom prípade je (1001)₂=(9)₁₆ a (0001)₂=(1)₁₆ a preto (10010001)₂=(91)₁₆.

Príklady pozičných sústav

Súčasné

• Dvojková sústava (binárna) - z=2
• Osmičková sústava (oktálová) - z=8
• Desiatková sústava (decimálna) - z=10
• Šestnástková sústava (hexadecimálna) - z=16

Historické

• Mayská dvadsiatková sústava
• Indické číslice

Pozri aj

• Nepozičná číselná sústava
• Číselná sústava

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Poziční číselná soustava na českej Wikipédii.