Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.

Vlastnosti upraviť

Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je $2\pi$ (360°). Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.

a=|AB|=|CD|=c,\qquad d=|AD|=|BC|=b.

Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.

\alpha =\angle DAB=\angle BCD=\gamma ,\qquad \beta =\angle ABC=\angle CDA=\delta .

Pretože $\alpha +\beta +\gamma +\delta =2(\alpha +\beta )=2\pi$ , platí

\alpha =\pi -\beta .

Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j. $a\neq b$ , a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j. $\alpha \neq \beta$ . Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j. $a=b=c=d$ , nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j. $\alpha =\beta =\gamma =\delta =\pi /2$ , nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:

e=|AC|={\sqrt {a^{2}+d^{2}+2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a+h_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h_{a}^{2}}}\,,

f=|BD|={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a-h_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h_{a}^{2}}}\,.

Obsah upraviť

Obsah rovnobežníka je rovný:

S=ah_{a}=bh_{b}=ab\sin \alpha

,

kde $a=|AB|$ a $b=|AD|$ sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a $h_{a}$ je výška k strane $AB$ , obdobne $h_{b}$ je výška k strane $AD$ , $\alpha$ je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

V rovine upraviť

Ak sú vrcholy $A,B,C,D$ zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. $A=(x_{A},y_{A})$ , $B=(x_{B},y_{B})$ , atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

S=\left|\det \left({\begin{array}{cc}x_{B}-x_{A}&x_{D}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{D}-y_{A}\end{array}}\right)\right|=|(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A})|.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol $A$ s počiatkom súradnicového systému, t. j. $A=(0,0)$ , potom teda:

S=|x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B}|.

Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného $n$ – rozmerného nadrovnobežnostenu (v $n$ – rozmernom priestore).

V trojrozmernom priestore upraviť

Ak sú vrcholy $A,B,C,D$ zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ , $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ , atď, a zavedieme ak stranové vektory

\mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},z_{D}-z_{A}),

je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ , kde „ $\times$ “ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

S=\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|_{2}={\Big (}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){\Big )}^{1/2}

kde „ $\,\cdot \,$ “ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi $z$ , t. j.

\mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0),

potom:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\Big (}0,0,(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}){\Big )},

čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol $A$ s počiatkom súradnicového systému, t. j. $A=(0,0,0)$ , potom

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(y_{B}z_{D}-y_{D}z_{B},x_{D}z_{B}-x_{B}z_{D},x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})

vo všeobecnom prípade , respektíve:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(0,0,x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})

v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi $z$ .

Zovšeobecnením vektorového súčinu do $n$ – rozmerného priestoru (ide o o súčin $(n-1)$ lineárne nezávislých vektorov dĺžky $n$ , ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného $(n-1)$ – rozmerného nadrovnobežníka v $n$ – rozmernom priestore.