Základná veta aritmetiky

Základná veta aritmetiky je matematická veta, ktorá tvrdí, že každé prirodzené číslo väčšie než 1 možno jednoznačne rozložiť na súčin prvočísiel.

Presná formulácia

Pre každé prirodzené číslo $x\,\!$ existuje práve jedna skupina prirodzených čísel väčších než 0: $n,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\,\!$ a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel: $p_{1}<p_{2}<\ldots <p_{n}\,\!$ tak, že

$p_{1}^{m_{1}}.p_{2}^{m_{2}}.p_{3}^{m_{3}}.\ldots .p_{n}^{m_{n}}=x\,\!$

Náčrt dôkazu

Tvrdenie sa dokazuje matematickou indukciou:

• pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložiť práve jedným spôsobom: $p=p^{1}\,\!$
• pokiaľ platí pre všetky $i\leq x\,\!$, potom $x+1\,\!$ je buď prvočíslo, alebo súčin nejakých dvoch menších čísiel - spojením ich jednoznačných prvočíselných rozkladov získame určite minimálne jeden rozklad
• zostáva dokázať, že tento rozklad je jednoznačný - dokazuje sa sporom (pokiaľ pre $x+1\,\!$ existujú dva rôzne rozklady, potom museli existovať dva rôzne rozklady tiež pre nejaké menšie číslo, čo je v spore s indukčným predpokladom)

Pozri aj

• Prvočíslo
• Faktorizácia
• Najväčší spoločný deliteľ
• Najmenší spoločný násobok

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Základní věta aritmetiky na českej Wikipédii.

Matematický portál