S hokejom začínal v rodnom meste, neskôr pôsobil v rámci mládežníckych družstiev v [[HK 36 Skalica|Skalici]] a [[Dukla Trenčín|Trenčíne]]. Už v mladom veku odišiel do zámoria, v ročníku ([[1995]]/[[1996|96]]) debutoval v IHL. Ako výrazný talent bol v roku [[1997]] draftovou jednotkou [[Pittsburgh Penguins|Pittsburghu Penguins]] (v 1. kole zo 17. miesta). Stále miesto v [[NHL]] si však nevybojoval, za Pittsburgh spolu odohral 52 zápasov, strelil 7 gólov a zaznamenal rovnaký počet asistencií. V sezóne [[2000]]/[[2000|01]] hrával v [[Česká hokejová extraliga|českej extralige]] ([[HC Třinec|Třinec]]) a [[HC Kladno|Kladno]]), potom opäť v zámorskej [[AHL]], jedno stretnutie odohral aj za [[Calgary Flames]]. V priebehu ročníka [[2003]]/[[2004|04]] sa vrátil do Európy a podpísal kontrakt s mužstvom švédskej [[Elitserien]] [[Södertälje SK]].
PredV sezónousezóne [[20062005]]/[[20072006|0706]] bol hráčom [[Nürnberg Ice Tigers]] (nemecká [[Deutsche Eishockey-Liga|DEL]]), pred nasledujúcim ročníkom ho angažoval ďalší švédsky klub [[MoDo Hockey]], kde vybojoval majstrovský titul. Následne sa po 12 rokoch vrátil na Slovensko (ako príčinu uviedol rodinné dôvody) a [[8. októbra]] 2007 podpísal trojročný kontrakt s [[HC Slovan Bratislava]], pričom sa stal jedným z najlepšie platených hráčov extraligy.<ref> [http://hokej.pravda.sk/robert-dome-sa-upisal-slovanu-d2b-/sk_hliga.asp?c=A071008_151322_sk_hliga_p13 Döme sa na tri roky upísal Slovanu, Pravda, 8.10.2007]</ref> Nosí dres s číslom 59.
