Dostredivá sila: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 409 bajtov ,  pred 13 rokmi
→‎Výpočet: Zjednodušenie odvodenia + boli tam nadbytocne limity prei derivaciach
d (Posledné úpravy používateľa 85.216.165.204 (diskusia) vrátené; bola obnovená posledná úprava 80.81.232.212)
(→‎Výpočet: Zjednodušenie odvodenia + boli tam nadbytocne limity prei derivaciach)
[[Obrázok:Dostredive1.png|right]]
 
Pri rovnomernom pohybe hmotného bodu po kružnici sa mení jeho rýchlosť. Veľkosť rýchlosti síce zostáva nezmenená, avšak mení sa jej smer. Túto premenlivosť rýchlosti môžeme vyjadriť veličinou zrýchlenie, ktorá je deriváciou rýchlosti podľa času, alebo: <math>\vec{a_d} = \lim_{\mathrm{d}t \to 0}\frac{\vec{\mathrm{d}v}}{\mathrm{d}t}</math>
 
Za čas <math>\mathrm{d}t</math> prešiel hmotný bod uhlovou rýchlosťou <math> \omega </math> uhol <math> \mathrm{d}\varphi = \mathrm{d}t \omega </math> ..(1)
 
[[Obrázok:Dostredive2.png]]
 
V čase t=0 je x-ová zložka rýchlosti nulová. V čase t2 sa zmenila x-ová zložka rýchlosti na nenulovú hodnotu (pri zachovaní obvodovej rýchlost) a jej veľkosť je daná priemetom do osi x.
Z obrázku vidíme, že vektor :<math> \vec{\mathrm{d}v} = \vec{v_2} - \vec{v_1} </math> smeruje do stredu kružnice a jeho veľkosť určíme jednoducho z pravoúhleho trojuholníka ako: <math>\mathrm{d}v = 2 v \sin(\frac{\mathrm{d}\varphi}{2}) = 2 v \sin(\frac{\mathrm{d}t\omega}{2})</math>
 
<math>v_x = v.sin\varphi </math>
 
pre malé uhly (a uhol za čas dt je nekonečne malý) platí: <math>\varphi = sin\varphi </math>
 
Pre malý uhol <math>\varphi </math> teda plat:
: <math>v_x = v.\varphi </math>
: <math>dv_x = v.d\varphi </math>
a po dosadení z rovnice 1
: <math>dv_x = v. \omega dt </math>
 
 
 
Teda:
: <math>a_da_x = \lim_{\mathrm{d}t \to 0}\frac{2 v. \sin(\frac{\mathrm{d}t\omega dt}{2})}{\mathrm{d}tdt} = \lim_{\mathrm{d}t \to 0}\frac{2 v \frac{\mathrm{d}t\omega}{2}}{\mathrm{d}t} = \omega v </math>
 
Keďže <math>v = \omega r</math> môžeme ešte vzťah upraviť na:
 
: <math>a_da_x = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}</math>
 
Kôli symetrii kružnice platí tento vzťah po celom obvode hoci bol odvodený pre bod kde sa mení x - rýchlosť z nulovej hodnoty. Teda možme zmeniť index zrýchlenia na všeobecný symbol d.
 
: <math>a_d =a_x</math>
 
Dostredivé zrýchlenie vychyľuje bod po obehu po kružnici a z obr. je zrejmé, že smeruje do stredu kružnice.
Dostredivá sila je sila, ktorá spôsobuje dostredivé zrýchlenie, preto pre ňu platí:
: <math>\vec{F_d} = m \vec{a_d}</math>
 
 
To znamená, že rovnako ako dostredivé zrýchlenie smeruje do stredu kružnicovej trajektórie a pre jej veľkosť platí:
163

úprav