Okruh (algebra): Rozdiel medzi revíziami

d
preklepy
d (jeden zly priklad)
d (preklepy)
Nie je ťažké dokázať, že v každom okruhu platia nasledujúce vzťahy:
 
* <math>a0=0a=0</matmath>
* <math>(-a)b=a(-b)=-ab</math>
* <math>(-1)a=-a</math>
 
* celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (posledné tri sú polia),
* [[kvaterinónykvaternióny]] vzhľadom na klasické operácie sčítania a násobenia (tvoria teleso),
* [[zvyškové triedy]] podľa prvočíselného modulu (tvoria pole),
* reálne spojité funkcie nad daným intervalom vzhľadom na sčítanie a násobenie funkcií,
== Konštrukcia nových okruhov zo starých ==
 
Nech je daný okruh =(''A'', +, *). Hovoríme, že (''B'', +', *') je ''podokruh'' okruhu ''A'', ak
* <math>B\subseteq A</math>,
* +' je [[zúženie|zúžením]] operácie + na ''B'',
* *' je zúžením operácie * na ''B''.
 
Nech ''C'' je ľubovoľná podmnožina ''A''. Najmenší podokruh okruhu ''RA'' (s indukovanými operáciami) obsahujúci množinu ''C'' nazývame '''podokruhom generovaným množinou ''C''''' (symbolicky zapisujeme <math>[C]</math>). Takýto podokruh existuje vždy práve jeden.
 
Nech teraz ''A'' je komutatívny okruh s jednotkou a nech jednotka patrí aj podokruhu ''B'', nech ''u'' je ľubovoľný prvok z ''A'', potom sa dá dokázať, že:
* <math>[B\cup \{u\}]=\{a_0+a_1u+a_2u^2+\ldots + a_nu^n ~|~ n\in N, a_0,a_1,\ldots,a_n \in B\}</math>
Podokruh <math>[B\cup \{u\}]</math> symbolicky zapisujeme <math>B[u]</math>.
1 118

úprav