Prvočíslo: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 3 531 bajtov ,  pred 16 rokmi
+ pridane z cs a en
(recateg)
(+ pridane z cs a en)
'''Prvočíslo''' je [[prirodzené číslo]], ktorého jedinými [[deliteľ]]mi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú '''[[zložené číslo|zložené čísla]]'''.
 
Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Skúmaním vlastností prvočísel sa zaoberá [[teória čísel]].
 
Začiatok radu prvočísel:
:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
 
== Vlastnosti==
* Ak ''p'' je prvočíslo a ''p'' delí súčin čísel ''a'' a ''b'', potom ''p'' delí ''a'' alebo ''p'' delí ''b''.
* Ak ''p'' je prvočíslo a ''a'' je ľubovolné celé číslo, potom je ''ap − a'' delitelné ''p''.
* Ak ''n'' je kladné celé číslo, existuje prvočíslo ''p'' také, že platí ''n'' < ''p'' &le; 2''n''.
* Pre každé prvočíslo ''p'' > 2 existuje prirodzené číslo ''n'' také, že platí ''p'' = 4''n'' ± 1.
* Pre každé prvočíslo ''p'' > 3 existuje prirodzené číslo ''n'' také, že platí ''p'' = 6''n'' ± 1.
* Ak ''p'' je prvočíslo iné ako 2 a 5, potom 1/''p'' má v desiatkovej [[číselná sústava|číselnej sústave]] nekonečný desatinný rozvoj.
* Každé zložené číslo sa dá jednoznačne vyjadriť ako súčin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné [[činiteľ|činitel]]e (prvočinitele) sa nazýva [[faktorizácia]]. Napr. 24 = 2&sup3;&nbsp;&sdot;&nbsp;3.
* Ak ''p'' je prvočíslo a G je [[grupa (matematika)|grupa]] s ''pn'' prvkami, potom G obsahuje prvok rádu ''p''.
* Ak G je konečná grupa a ''pn'' je najvyššia mocnina prvočísla ''p'', ktorá delí rád grupy G, potom má grupa G [[podgrupa (matematika)|podgrupu]] rádu ''pn''.
* [[okruh|Okruh]] Z/''n''Z je [[teleso (algebra)|teleso]], práve vtedy, keď ''n'' je prvočíslo. Inak povedané: ''n'' je prvočíslo, práve vtedy keď ''φ(n)'' = ''n'' &minus; 1.
* Prvočísel je nekonečne veľa. [[dôkaz sporom |Dôkaz sporom]]: Nech existuje iba konečne veľa prvočísel. Označme ich ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, …, ''p''<sub>n</sub>. Potom číslo ''x''&nbsp;= ''p''<sub>1</sub> &middot; ''p''<sub>2</sub> &middot;&middot;&middot; ''p<sub>n</sub>'' + 1 nie je deliteľné žiadnym z týchto prvočísel, pretože pri [[delenie|delení]] dostaneme vždy zvyšok 1. Teda číslo ''x'' musí byt buď prvočíslo, alebo musí byt deliteľné nejakým iným prvočíslom. To ale znamená, že [[množina]] prvočísel zo začiatku dôkazu nebola úplná, čo je spor s predpokladom.)
 
==Mersennove prvočísla==
Istou skupinou prvočísel sú takzvané [[Mersennove prvočísla]]. Takéto prvočíslo sa dá zapísať v tvare 2<sup>p</sup>-1, kde ''p'' je tiež prvočíslo. Čo je na nich také zaujímavé je skutočnosť, že takýchto prvočísel je zatiaľ odhalených veľmi málo (presne 42 - zatiaľ posledné objavené sa skladá z 7 816 230 číslic). Príkladmi na Mersennove prvočísla môžu byť prvočíslo 3 (2<sup>2</sup>-1) alebo 7 (2<sup>3</sup>-1).
 
== Hľadanie prvočísel==
{{math-stub}}
Na vytvorenie zoznamu prvočísel existujú rôzne [[algoritmus|algoritmy]], napr. [[Eratosthenovo sito(prvočísla)|Eratosthenovo sito]].
 
== Využitie ==
Veľký praktický význam majú prvočísla v [[Kryptológia|Kryptológii]].
 
==Externe odkazy==
*[http://www.prime-numbers.org/ www.prime-numbers.org] – Prvočísla do 10 miliárd
 
[[Kategória:Celé čísla]]
[[Kategória:Prvočísla]]
 
[[af:Priemgetal]]
[[ang:Frumtæl]]
[[be:Просты лік]]
[[bg:Просто число]]
[[ca:Nombre primer]]
[[da:Primtal]]
[[de:Primzahl]]
[[el:Πρώτος αριθμός]]
[[en:Prime number]]
[[eo:Primo]]
[[es:Número primo]]
[[et:Algarv]]
[[eu:Zenbaki lehen]]
[[fr:Nombre premier]]
[[he:מספר ראשוני]]
[[hu:Prímszámok]]
[[id:Bilangan prima]]
[[is:Frumtala]]
[[it:Numero primo]]
[[ja:素数]]
[[ko:소수 (수론)]]
[[la:Numerus primus]]
[[lt:Pirminiai skaičiai]]
[[nl:Priemgetal]]
[[no:Primtall]]
[[pl:Liczby pierwsze]]
[[pt:Número primo]]
[[ru:Простое число]]
[[scn:Nummuru primu]]
[[sl:Praštevilo]]
[[sr:Прост број]]
[[sv:Primtal]]
[[th:จำนวนเฉพาะ]]
[[tr:Asal sayılar]]
[[uk:Просте число]]
[[zh:素数]]
48

úprav