Diferenciálna rovnica: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
SilvonenBot (diskusia | príspevky)
k
Riadok 1:
'''Diferenciálna rovnica''' ja matematická [[rovnica]], v ktorej ako [[Premenná|premenné]] vystupujú [[derivácia (funkcia)|derivácie]] [[Funkcia|funkcií]]. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a ich sú používané vo väčšine
oblastí ľudského poznania (pozri napríklad [[Schrödingerova rovnica|Schrödingerovu rovnicu]]).
 
== Definícia ==
Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare<br />
<math>F\left(x,y,y',\cdots,y^{(n)}\right)=0</math><br />
Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.
 
== Druhy diferenciálnych rovníc ==
Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:
Řádek 11 ⟶ 13:
*''[[stochastická diferenciálna rovnica|stochastické diferenciálne rovnice]]'' (skr. SDR alebo SDE) &mdash; rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
*''[[Diferenciálna algebrická rovnica|diferenciálne algebrické rovnice]]'' (skr. DAE) &mdash; diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.
 
== Rád diferenciálnej rovnice ==
Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.
Řádek 17 ⟶ 20:
 
Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie <math>x(t)</math>, ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.
 
== Príklady ==
'''1. príklad'''
Řádek 40 ⟶ 44:
<math>\begin{array}{rcl}\ln(x(t))&=&-t+\ln |C|\\ \ln x(t)-\ln|C|&=&-t\\ \ln\dfrac{x(t)}{|C|}&=&-t\\ \textrm{e}^{-t}&=&\dfrac{x(t)}{|C|}\\ x(t)&=&|C|\cdot\textrm{e}^{-t}\end{array}</math><br />
V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka <math>x(0)</math>.
 
----
'''2. príklad'''
 
Řádek 50 ⟶ 54:
 
<math>\begin{array}{rcl}\ln y(x)&=&\ln x+\ln |C|\\ \ln y(x)&=&\ln |C|\cdot x\\ y(x)&=&|C|\cdot x\end{array}</math>
{{Matematický výhonok}}
 
[[Kategória:Matematická analýza]]