Konvexná funkcia: Rozdiel medzi revíziami

[[Obrázok:Konkavna_konvexna_funkcia.PNG|Konkávna časť funkcie je vyznačená namodro. Graf na tomto intervale leží pod dotyčnicou. Zvyšná červená krivka označuje konvexnú časť a jej graf leží nad dotyčnicou|right|400px|thumb]]

Definíciu konvexnosti funkcie možno rozdeliť na definíciu konvexnosti funkcie a špeciálneho prípadu - rýdzej konvexnosti funkcie. Väčšinu elementárnych funkcií možno však považovať za rýdzo konkávne respektíve rýdzo konvexné. Príkladom môžu byť [[Polynóm|polynómy]].

Nech ''f'' je funkcia spojitá na intervale <math>(a,b)</math>. Potom hovoríme, že funkcia ''f'' je na intervale <math>(a,b)</math> rýdzo konvexná práve vtedy, keď existuje číslo <math>\lambda\in(0,1)</math> s vlastnosťou<br />

 

<center><math>\forall x,y\in(a,b),x<y:f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)</math></center>

 

 

Pri hľadaní intervalov, na ktorých je funkcia konvexná sa postupuje použitím druhej derivácie funkcie. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie delia [[Inflexný bod|inflexné body]]. V týchto bodoch funkcia mení zakrivenie. Funkcia je preto rýdzo konvexná na intervale, kde <math>f''(x)>0</math>. Analogicky sa odvodí pravidlo pre interval konvexnej funkcie <math>f''(x)\geq0</math>. Daná derivácia musí existovať. To, že funkcia je diferencovateľná nevyplýva priamo z podmienky spojitosti skúmanej funkcie, preto treba pridať podmienku diferencovateľnosti.