Boolova algebra: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d robot Odobral: en:Boolean algebra |
doplnenie z cs a pl wiki |
||
Riadok 1:
'''Boolova algebra''' alebo '''Booleova algebra''' je [[algebra]]ická štruktúra, ktorá modeluje vlastnosti množinových a logických operácií. Je nazvaná podľa írského matematika [[George Boole]]a.
Boolova algebra je abstraktný formálny systém Boolova algebra má interpretácie v rôznych vedných disciplínach, napríklad:
{| class=wikitable
! Boolova algebra || [[množinová algebra]] || [[výroková algebra]] (logika)
|-
| a, b, c, ... prvky<br><br><math>\lor</math> || A, B, C, ... podmnožiny<br>množiny I<br>U (zjednotenie) || p, q, r, ... výroky<br>množiny U<br>\/ (disjunkcia)
Řádek 13 ⟶ 15:
|}
== Definícia ==
Booleova algebra je definovaná ako distributívny komplementárny [[zväz (matematika)|zväz]].
Booleova algebra je [[usporiadaná množina|šestica]] (''A'', ∧, ∨, −, 0, 1), kde ''A'' je neprázdna [[množina]], 0 ∈ ''A'' je [[najmenší prvok|najmenší]], 1 ∈ ''A'' [[najväčší prvok]], − je unárna operácia ([[Komplement|komplement]]) a ∧, ∨ sú binárne operácie ([[priesečník]], [[spojenie]]) na ''A'', spĺňajúce nasledujúce [[axióm]]y.
:{| cellpadding=5
|-
| [[Komutativita]]:
|<math> x \lor y = y \lor x </math>
|<math> x \land y = y \land x </math>
|-
| [[Distributivita]]:
|<math> x \lor (y \land z) = (x \lor y) \land (x \lor z) </math>
|<math> x \land (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z) </math>
|-
| [[Neutrálny prvok|Neutralita]] 0 a 1:
|<math>x \or 0 = x</math>
|<math>x \and 1 = x</math>
|-
| [[Komplementarita|Komplementarita]]:
|<math> x \lor -x = 1 </math>
|<math> x \land -x = 0 </math>
|-
| Nedegenerovanosť:
|colspan=2|<math>0\neq 1</math>
|}
== Vlastnosti ==
Pre Booleovu algebru ''A'' a každé ''x'', ''y'', ''z'' ∈ ''A'' platí:
* [[asociativita]]: (''x'' ∨ ''y'') ∨ ''z'' = ''x'' ∨ (''y'' ∨ ''z''), (''x'' ∧ ''y'') ∧ ''z'' = ''x'' ∧ (''y'' ∧ ''z'')
* absorpcia: ''x'' ∨ (''x'' ∧ ''y'') = ''x'', ''x'' ∧ (''x'' ∨ ''y'') = ''x''
* agresivita nuly: ''x'' ∧ 0 = 0
* agresivita jedničky: ''x'' ∨ 1 = 1
* [[idempotencia]]: ''x'' ∨ ''x'' = ''x'', ''x'' ∧ ''x'' = ''x''
* absorpcia negácie: ''x'' ∨ (−''x'' ∧ ''y'') = ''x'' ∨ ''y'', ''x'' ∧ (−''x'' ∨ ''y'') = ''x'' ∧ ''y''
* dvojitá negácia: −(−''x'') = ''x''
* [[De Morganove zákony]]: −''x'' ∧ −''y'' = −(''x'' ∨ ''y''), −''x'' ∨ −''y'' = −(''x'' ∧ ''y'')
* ''0'' a ''1'' sú vzájomne komplementárne: −0 = 1, −1 = 0
== Označovanie ==
Existujú najmenej tri najznámejšie tradície v označovaní v teórii Booleovej algebry. Vo vyššie použitej definícii sú použité symboly <math>\lor,\land,\lnot</math>, ale bežne sú používané tiež <math>\cup,\cap,\sim</math>, a na bežné použitie tiež <math>+,\cdot,-</math>. Symboly dvojargumentovýh operácií Booleovej algebry sú takmer vždy výberom jedného z páru <math>(+,\cdot)</math>, <math>(\lor,\land)</math> alebo <math>(\cup,\cap)</math>. Označenie operácií jednoargumentowej algebry je menej, v dôsledku toho sa môžeme stretnúť ako so symbolmi <math>+,\cdot,\sim</math> tak aj <math>\lor,\land,{}^\prime</math>.
Symboly <math>\wedge,\vee</math> sa často používajú v súvislosti algebraickými teóriami.
Stretávame sa aj s použitím iných symbolov resp. ich kombinácií (na príklad & na miesto <math>\cap</math>, alebo <math>a^\prime</math> namiesto <math>\;\sim a</math>. V oblasti elektroniky a informačných technológií je často používaný ako OR, AND resp. NOT na mieste <math>\cup</math>, <math>\cap</math> resp. <math>\sim</math>.
== Príklady ==
* Najjednoduchšia Booleova algebra obsahuje len jeden prvok, alebo 0 = 1 (tu nejde o spor, ale o dvojité označovanie jedného [[prvok množiny|prvku]]). Všetky [[operácia (matematika)|operácie]] dávajú rovnaký výsledok (iné tu ani neexistujú), preto sa nazýva triviálne. Táto algebra samozrejme môže existovať jedine vtedy, keď sa vypustí Axiom nedegenerovanosti.
* Duálna algebra je algebra nad množinou ''A''= (0, 1), kde operácie sú dané prirodzeným spôsobom.
=== Používané Booleovy algebry ===
Najvýznamnejšími príkladmi Booleových algebier sú algebry výrokov (alebo všeobecnejšie [[Lindenbaumova algebra|Lindenbaumovej algebry]] [[formula (logika)|formulí]]) a množinové algebry.
* U algebier výrokov v dvojhodnotovej logike je ''A''= (nepravda, pravda), 0 = nepravda, 1 = pravda, a operácie zodpovedajú [[disjunkcia|disjunkcii]], [[konjunkcia (logika)|konjunkcii]] a [[negácia|negácii]].
{| border="0"
|
{| class="prettytable"
|+ Konjunkcia
| align="center" width="25" | <math>\wedge</math>
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | '''1'''
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 0
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 1
|}
|
|
{| class="prettytable"
|+ Disjunkcia
| align="center" width="25" | <math>\lor</math>
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | '''1'''
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 0
| align="center" width="25" | 1
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 1
| align="center" width="25" | 1
|}
|
|
{| class="prettytable"
|+ Negácia
| align="center" width="25" |
| align="center" width="25" | <math>\neg</math>
|-
| align="center" width="25" | '''0'''
| align="center" width="25" | 1
|-
| align="center" width="25" | '''1'''
| align="center" width="25" | 0
|}
|}
* [[Lindenbaumova algebra|Lindenbaumovy algebry]] sú definované nad množinou ''A'' všetkých tried ekvivalencie [[formula (logika)|formulou]] dotknutého [[jazyk (logika)|jazyka]] a operácie sú rovnaké ako u algebier výrokov.
* U množinových algebier je algebra definovaná nad [[potenčná množina|potenčnou množinou]] ľubovoľnej množiny ''S'', tzn. ''A''= 2 <sup>''S''</sup>, najmenším prvkom 0 je [[prázdna množina]], najväčším prvkom 1 je sama množina''S''a operácie zodpovedajú [[prienik]]u, [[zjednotenie|zjednoteniu]] a [[doplnok (množiny)|doplnku]] do množiny''S''.
[[Kategória:Matematika]]
== Pozri aj ==
* [[De Morganove zákony]]
[[ast:Álxebra de Boole]]
[[bg:Булева алгебра]]
[[bn:বুলিয়ান বীজগণিত]]
[[bs:Booleova algebra]]
[[ca:Àlgebra de Boole]]
[[cs:Booleova algebra]]
[[de:Boolesche Algebra]]
[[en:Boolean algebra (structure)]]
[[eo:Bulea algebro]]
[[es:Álgebra de Boole]]
[[fa:جبر بولی]]
[[fi:Boolen algebra]]
[[fr:Algèbre de Boole (structure)]]
[[gl:Álxebra de Boole]]
[[he:אלגברה בוליאנית]]
[[hr:Booleova algebra]]
[[hu:Boole-algebra]]
[[id:Aljabar Boolean]]
[[io:Booleana algebro]]
[[it:Algebra di Boole]]
[[ja:ブール代数]]
[[ko:불 대수]]
[[lt:Būlio algebra]]
[[nl:Booleaanse algebra]]
[[no:Boolsk algebra]]
[[pl:Algebra Boole'a]]
[[pt:Álgebra booleana]]
[[ru:Булева алгебра]]
[[simple:Boolean algebra]]
[[sl:Booleova algebra]]
[[sr:Булова алгебра]]
[[sv:Boolesk algebra]]
[[th:พีชคณิตแบบบูล]]
[[tl:Aldyebrang Boolean]]
[[tr:Boole cebiri]]
[[uk:Булева алгебра]]
[[zh:布尔代数]]
| |||