Problém troch telies: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
éoúip
d Revízia 2191051 používateľa 93.184.76.168 (diskusia) bola vrátená
Riadok 1:
'''Problém troch telies''' je jedna z hlavných úloh [[nebeská mechanika|nebeskej mechaniky]] určiť pohyby troch telies vykonávaných vplyvom síl vzájomnej [[gravitácia|príťažlivosti]]. Podobne ako v [[problém dvoch telies|probléme dvoch telies]] pokladajú sa telesá za dokonale tuhé, guľovo symetrické, aproximujú sa ako hmotné body. Medzi týmito bodmi s koncentrovanou hmotou pôsobia sily vzájomnej príťažlivosti, ktoré možno vypočítať podľa Newtonovho [[gravitačný zákon|gravitačného zákona]]. Vplyvom týchto síl sa jednotlivé telesá pohybujú po určitých dráhach okolo spoločného [[ťažisko (fyzika)|ťažiska]]. Je potrebné určiť pohybové rovnice troch telies tak, aby sa dala vypočítať ich poloha na dráhe a [[rýchlosť]] pre ľubovoľný čas v budúcnosti aj v minulosti. Ak je v určitom čase známa poloha telies na dráhe a smer a veľkosť ich rýchlosti, dajú sa zostaviť [[Rovnica (matematika)|matematické rovnice]], kt. určujú pohyb jednotlivých telies pod vplyvom ďalších dvoch. Sú to tri diferenciálne rovnice druhého rádu pre každé teleso.
´je to kokotina!!!
 
Kým v probléme dvoch telies sa tieto pohybové rovnice dali úplne vyriešiť, v probléme troch telies sa nedá určiť všeobecné riešenie pohybu do všetkých dôsledkov. Je to možné iba v niekoľkých špeciálnych prípadoch. Inak si treba zvoliť čo najviac zjednodušení, aby sa pohybové rovnice dali vyriešiť. V probléme troch telies je známych iba niekoľko všeobecných vzťahov a približné riešenia. Všeobecné vzťahy:
* a) pre pohyb spoločného ložiska sústavy vyplýva, že ťažisko sústavy troch telies je v pokoji alebo v priamočiarom rovnomernom pohybe (integrál ťažiska);
* b) súčet súčinu [[hmotnosť|hmotnosti]] a plošnej rýchlosti je konštantný, z čoho vyplýva zákon zachovania momentu hybnosti sústavy, celková hybnosť sústavy pri pohybe troch telies ostáva konštantná (integrál plôch);
* c) platí zákon zachovania energie sústavy, súčet kinetickej a potenciálnej energie sústavy troch telies je konštantný (integrál energie).
 
Ďalšie integrály takýchto typov, keď sa za premenné zvolia zaužívané pravouhlé súradnice alebo [[elementy dráhy]], nie sú známe. H. Poicaré a H. Bruns dokázali, že v probléme troch a viac telies sa principiálne nedá určiť viac než desať integrálov takýchto typov, nejestvujú algebrické rieše­nia a problém troch telies nie je presne analyticky riešiteľný. Nemožno určiť polohu v ľubovoľnom čase v budúcnosti alebo minulosti bez toho, aby sa určili polohy v predchádzajú­cich alebo nasledujúcich okamihoch. V súčasnosti sa na túto metódu výhodne využívajú samočinné počítacie stroje. Ďalší matematický postup na dosiahnutie presných riešení poskytujú nekonečné rady (rozvoje), ktoré sú presným teoretickým riešením, ale v praxi sú menej vhodné, lebo uvažované rozvoje pomaly konvergujú. V praxi sa dosahujú riešenia s ľubovoľnou presnosťou metódami numerickej integrácie. V špeciálnych prípadoch, keď v určitom čase telesá dosiahnu znovu navzájom rovnaké polohy, jestvuje úplné analytické riešenie problému troch telies. [[Joseph Louis Lagrange|J. L. Lagrange]] ([[1772]]) dokázal, že taký špeciálny prípad jestvuje, keď sa tretie teleso nachádza v jednom z piatich [[libračný bod|libračných bodov]] L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>,... L<sub>5</sub> vzhľadom na prvé dve telesá. Sú to miesta, v ktorých sa gravitačné a odstredivé sily na tretie teleso m<sub>3</sub> malej hmotnosti vyrovnávajú. Body L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> a L<sub>3</sub> ležia na priamke prechádzajúcej prvými dvoma telesami a ich poloha závisí od pomeru hmotnosti telies m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub>. Body L<sub>4</sub> a L<sub>5</sub> tvoria s telesami m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub> rovnostranné trojuholníky. Pritom body L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub> a L<sub>3</sub> sú nestabilné (už malé poruchy môžu vychýliť tretie teleso z libračného centra), body L<sub>4</sub> a L<sub>5</sub> sú stabilné (malé poruchy spôsobia iba kolísanie polohy m<sub>3</sub> okolo librač­ných bodov). Pri pohybe troch telies v tomto prípade sa vzájomné vzdialenosti môžu meniť, ale pomer vzdiale­nosti ostáva vždy rovnaký. Všetky telesá opisujú podob­né kužeľosečky. Aj keď takýto prípad je špeciálnym teoretickým prípadom problému troch telies, v slnečnej sústave jestvujú telesá, ktoré sa pohybujú v blízkosti libračných bodov L<sub>4</sub> a L<sub>5</sub> sústavy [[Slnko]] - [[Jupiter]]. Sú to [[Trójania]].
 
Ďalším špeciálnym prípadom problému troch telies je [[reštringovaný problém]] troch telies, pri ktorom sa predpokladá niekoľko zjednodušujúcich podmienok (zanedbateľná hmotnosť tretieho telesa, pohyb v jednej rovine, pohyb m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub> okolo spoločného ložiska). Keď v určitom čase nadobudnú telesá začiatočnú polohu, t. j. pohyb je periodický, problém troch telies sa dá úplne analyticky vyjadriť. Vo všeobecnosti sa v probléme troch telies hovorí o teórii porúch - perturbácii. Keď je hmotnosť tretieho telesa m<sub>3</sub> veľmi malá v porovnaní s m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub> alebo m<sub>3</sub> je veľmi vzdialené od m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub>, jeho pôsobenie na telesá m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub> je oveľa menšie ako pôsobenie medzi telesami m<sub>1</sub> a m<sub>2</sub>. V takom prípade m<sub>3</sub> iba slabo ruší keplerovský pohyb dvoch telies. Napríklad v [[slnečná sústava|slnečnej sústave]] je [[hmotnosť Slnka]] oveľa väčšia než hmotnosť ostatných telies, preto pri výpočte dráhy určitej [[planéta|planéty]] (alebo iného telesa slnečnej sústavy) pôsobia ďalšie telesá len určitými poruchami (zrýchleniami rušiacej sily), ktoré sa dajú osobitne vyčísliť a spočítať. Tieto poruchy nie sú konštantné, ale závisia od vzájomnej polohy uvažovaných troch telies (pôsobenie je najväčšie, keď sú telesá v rovnakom smere na spojnici) a sú funkciou času. Poruchy klesajú s treťou mocninou vzdialenosti, prvý člen rozvoja je úmerný R/r³, kde R je vzdialenosť planéty od [[Slnko|Slnka]] a r vzdiale­nosť rušiaceho telesa. Rozlišujú sa periodické poruchy (kolísanie okolo strednej hodnoty) a sekulárne poruchy (jednosmerné vzrastanie s časom). S otázkou porúch súvisí problém stability [[planetárna sústava|planetárnej sústavy]]. Z charakteru porúch elementov telies slnečnej sústavy vyplýva, že tá je neohraničene stabilná ([[porucha|poruchy]]).
 
==Pozri aj==
* [[Problém dvoch telies]]
* [[Problém n telies]]
 
{{Encyklopédia astronómie}}
 
[[Kategória:Nebeská mechanika]]
 
[[en:N-body problem#Three-body problem]]