Teória chaosu: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d robot Zmenil: scn:Tiurìa dû caos |
Bez shrnutí editace |
||
Riadok 1:
[[Súbor:Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png|thumb|200px|right||[[Lorenzov atraktor]] popisuje pohyb systému v stavovom priestore. Tu sú počiatočné hodnoty ''r'' = 28, σ = 10, ''b'' = 8/3.]]
'''Teória chaosu''' je časť [[matematika|matematiky]] a [[fyzika|fyziky]], ktorá sa zaoberá systémami, ktorých dynamika za určitých podmienok citlivo závisí od začiatočných podmienok, takže ich správanie nie je dlhodobo predpovedateľné.
Teória chaosu sa zaoberá chovaním istých nelineárnych dynamických systémov, ktoré za istých podmienok vykazujú jav známy ako chaos, najvýznamnejšie charakterizovaný citlivosťou počiatočných podmienok ([[motýlí efekt]]). V dôsledku tejto citlivosti sa chovanie týchto fyzikálnych systémov javí ako náhodné, aj keď model systému je [[determinizmus|deterministický]] v tom zmysle, že je dobre definovaný a neobsahuje žiadne náhodne parametre. Príklady takýchto systémov zahrnujú [[atmosféra|atmosféru]], [[solárny systém]], tektoniku zemských dosiek, turbulenciu tekutín, atď.
Systémy, ktoré vykazujú matematický chaos, sú v istom zmysle zložito usporiadané. Tým je význam slova v matematike a fyzike v istom nesúlade s obvyklým chápaním slova chaos ako totálneho neporiadku.
== Základy teórie ==
Nelineárny dynamický systém môže obecne vykazovať jeden z následujúcich typov chovania :
* vždy v pokoji
* vždy expandujúci (len pre [[neobmedzený systém|neobmedzené systémy]])
* [[periodický pohyb]]
* [[kvazi-periodický pohyb]]
* ''chaotický pohyb''
Typ chovania, aký systém môže vykazovať, závisí na počiatočnom stavu systému a hodnotách jeho parametrov, ak nejaké existujú. Najzložitejším typom chovania je ''chaotický pohyb'', neperiodický zložitý pohyb, ktorý dal meno tejto teórii.
=== Chaotický pohyb ===
Aby sme mohli klasifikovať chovanie systému ako chaotické musí systém vykazovať nasledujúce vlastnosti:
* musí byť ''citlivý na počiatočné podmienky''
* musí byť ''[[topologická tranzitivita|topologicky tranzitívny]]''
* jeho periodické orbity musia byť ''[[hustá množina|husté]]''
Citlivosť k počiatočným podmienkam znamená, že dve blízke trajektórie vo [[fázový priestor|fázovom priestore]] sa s rastúcim časom rozbiehajú (exponenciálne). Inak povedané, malá zmena v počiatočných podmienkach vedie po čase k veľmi odlišnému výsledku. Systém sa chová identicky iba keď jeho počiatočná konfigurácia je '''úplne''' rovnaká. Príkladom takejto citlivosti je tzv. motýli efekt, kedy mávnutie motýlích krídiel vyvolá len nepatrné zmeny v atmosfére, ktorá ale v priebehu času môže viesť až k tak dramatickým zmenám ako je výskyt [[tornado|tornád]]. Mávnutie krídiel motýľa predstavuje malú zmenu počiatočných podmienok systému, ktorá ale spôsobí reťaz udalostí vedúci k rozsiahlym javom, ako sú tornáda. Keby motýľ nemávol krídlami, trajektória systému by mohla byť úplne iná.
Citlivosť k počiatočným podmienkam sa dá kvantifikovať [[Ljapunovov exponent|Ljapunovým exponentm]
Tranzitivita znamená, že aplikácie transformácie na ľubovoľný daný interval <math>I_1</math> ho rozťahuje až do doby, kedy prekryje ľubovoľný ďalší daný interval <math>I_2</math>.
Tranzitivita, husté periodické body a citlivosť na počiatočných podmienkach sa dajú rozšíriť na ľubovoľný [[metrický priestor]]. J. Banks a jeho kolegovia ukázali v roku 1992, že v nastaveniach obecného metrického priestoru tranzitivita a zároveň husté periodické body implikujú citlivosť na počiatočných podmienkach.
=== Atraktory ===
Jedným spôsobom vizualizácie chaotického pohybu, alebo naozaj ľubovoľného typu pohybu, je vytvorenie fázového diagramu pohybu. V takomto diagramu je čas implicitný a každá osa reprezentuje jednu dimenziu stavu. Napríklad niekto kreslí pozíciu kyvadla voči jeho rýchlosti. Kyvadlo v pokoji bude zobrazené ako bod a kyvadlo v periodickom pohybu bude nakreslený ako jednoduchá uzavretá krivka. Keď takýto graf vytvára uzavretú krivku, krivka sa nazýva orbita.
Často je na fázových diagramoch vidieť, že väčšina stavových trajektórií sa približuje a obmotáva nejakú obecnú limitu. Systém končí v rovnakom pohybe pre všetky počiatočné stavy v oblasti okolo tohto pohybu, takmer ako by bol systém k tomuto pohybu (trajektórii fázového priestoru) priťahovaný (anglicky 'attracted'). Tento „cieľový“ pohyb je teda prípadne nazývaný [[atraktor]]'' systému a je veľmi častý pre nútené [[disipativní systém]]y.
Napr. ak pripojíme ku kyvadlu tlmič, bez ohľadu na jeho počiatočnú pozíciu a rýchlosť sa bude blížiť k pokojovému stavu - alebo presnejšie - dosiahne ho v limite. Trajektórie vo fázovom diagrame budú všetky špirály, smerujúce ku stredu a nebudú už tvoriť množinu oválov. Tento bod v strede - stav, kedy je kyvadlo v pokoji sa nazýva atraktor.
Takýto atraktor môžeme nazývať bodovým atraktorom. Nie všetky atraktory sú bodové. Niektoré sú jednoduchými slučkami, alebo zložitejšími dvojitými slučkami. A niektoré sú skutočnými fraktálmi: to sú tzv. podivné atraktory Systémy s atraktory v tvare slučky vykazujú periodický pohyb. Systémy so zložitejšími rozdelenými slučkami vykazujú kvaziperiodický pohyb. A systémy s podivnými atraktormi vykazujú chaotické chovanie.
V ľubovoľnom bode fázového diagramu sa stav systému mení určitým deterministickým spôsobom. Ak je naše kyvadlo v danej pozícií a putuje s danou rýchlosťou, môžeme spočítať v akej ďalšej pozícii kyvadlo bude a s akou rýchlosťou sa bude pohybovať. Môžeme sa teda pozerať na náš diagram ako na vektorové pole, a použiť vektorový počet, aby sme mu porozumeli.
=== Podivné atraktory ===
Zatiaľ čo väčšina typov pohybov zmienených vyššie poskytuje veľmi jednoduché atraktory, ako sú body alebo kruhové krivky nazývané limitné cykly, chaotický pohyb vedie k tomu čo je známe ako podivný atraktor, čo sú vlastne atraktory s veľkolepými detailmi a veľkou zložitosťou.
Napríklad jednoduchý trojdimenzioálny model [[Edward Lorenz|Edwarda Lorenza]] vedie ku slávnemu [[Lorenzov atraktor|Lorenzovmu atraktoru]]. Lorenzov atraktor je jeden z najznámejších diagramov chaotických systémov, pretože nielen, že bol jeden z prvých popísaný, ale zároveň je jeden z najzložitejších. Vznikajú v ňom veľmi zaujímavé obrazce, ktoré vypadajú ako motýlie krídla. Iným takýmto atraktorom je [[Rösslerovo zobrazení]], ktoré vykazuje dvojperiodickú cestu k chaosu podobne ako logistické zobrazenie.
Podivné atraktory sa objavujú ako v [[spojitá funkcia|spojitých]] dynamických systémoch (ako je ten Lorenzov systém), tak i v niektorých [[diskrétna matematika|diskrétnych]] systémoch ako je [[Hénonovo zobrazenie]]). Iné diskrétne dynamické systémy majú odpodzujúcu štruktúru nazývanú [[Juliova množina|Juliove množiny]], ktoré tvoria hranice medzi oblasťami príťažlivosti pevných bodov. Podivné aktraktory aj Juliove množiny majú typicky fraktálnú štruktúru.
[[Poincaré-Bendixsonova veta]] ukazuje, že podivný atraktor môže v spojitom dynamickom systéme vzniknúť len vtedy, ak má tri alebo viac rozmerov. Avšak žiadne takéto obmedzenie neplatí pre diskrétne systémy, ktoré vykazujú podivné atraktory v dvoch alebo v jedno-dimenzionálnych systémoch.
== História ==
Korene teórie chaosu je možné datovať k roku 1900, v štúdiách [[Henri Poincaré]]ho o problému pohyb 3 objektov so vzájomnou gravitačnou silou, tzv. [[Problém troch telies|problému troch telies]]
Poincaré objavil, že môžu existovať orbity, ktoré sú neperiodické, a ktoré nie sú ani neustále vzrastajúce ani sa neblížia k pevnému bodu.
Neskoršie štúdie, tiež na téma nelineárnych [[diferenciálne rovnice|diferenciálnych rovníc]] boli realizované [[George David Birkhoff|G.D. Birkhoffom]], [[Andrej Nikolajevič Kolmogorov|A.N. Kolmogorovom]], [[Mary Lucy Cartwright|M.L. Cartwrightovou]], [[John Edensor Littlewood|J.E. Littlewoodom]], a [[Stephen Smale|Stephenem Smalom]].
Okrem Smaleho, ktorý snáď ako prvý čistý matematik študoval nelineárnu dynamiku, boli všetky tieto štúdie priamo inšpirované fyzikou: problém troch telies v prípade Birkhoffa, turbulencie a astronomické problémy v prípade Komogorova a rádiová technika v prípade Cartwrightovej a Littlewooda.
Napriek tomu, že chaotický pohyb planét nebol pozorovaný, experimentátori narazili na turbulenciu v pohybe kvapalín a neperiodické kmity v rádiových obvodoch, bez podpory teórie, ktorá by vysvetlila ich pozorovania.
Teória chaosu rýchlo postupovala vpred po polovici minulého storočia, kedy sa stalo pre niektorých vedcov zrejmé, že lineárne teórie, prevažujúce teórie systémov v tomto období, proste nemôžu vysvetliť pozorované chovanie v určitých experimentoch, ako sú [[logistická mapa|logistické mapy]]. Hlavným katalyzátorom vývoja teórie chaosu bol elektronický [[počítač]]. Väčšina matematických teórií chaosu zahrnuje jednoduché opakované iterácie, ktorých vývoj je nepraktické skúšať ručne. Počítače výskum takýchto systémov veľmi uľahčujú. Jeden z prvých elektronických počítačov [[ENIAC
]], bol použitý ku štúdiu jednoduchých modelov predpovedí počasia.
Jedným z prvých pionierov tejto teórie bol [[Edward Lorenz]]. Jeho záujem o chaos vznikol náhodne počas jeho práce na predpovedí počasia v roku [[1961]]. Lorenz použil [[počítač]] [[Royal McBee]] [[LPG-30]] k výpočtu svojho modelu simulujúceho počasie. Chcel vidieť opäť svoju sekvenciu a aby ušetril čas, začal simulovať zo stredu. Mal totiž vytlačené dáta z minulej simulácie a tak ich zadal ako vstupné dáta do svojho modelu.
K jeho prekvapeniu bolo predpovedané počasie úplne iné, než na jeho pôvodnom modely. Lorenz skúmal, prečo tomu tak je, a príčinu objavil vo svojej zostave. Zostava zaokrúhľovala premenné na 3 desatinné miesta, zatiaľ čo počítač pracoval s 5 desatinnými miestami. Tento rozdiel je malý a nemal by mať prakticky vplyv na riešenie. Avšak Lorenz objavil, že malé zmeny v počiatočných podmienkach vedú k veľkým zmenám na výstupu z dlhodobého hľadiska.
Pojem '''chaos''', ako je používaný v matematike, bol vytvorený aplikovaným matematikom [[James A. Yorke|Jamesem A.Yorkom]].
[[Moorov zákon]] a dostupnosť lacnejších počítačov rozšírila možnosť skúmania teórie chaosu. V súčasnej dobe pokračuje veľmi aktívne skúmanie tejto teórie.
== Pozri aj ==
* [[Anosovov difeomofizmus]]
*[[Bifurkačná teória]]
*[[Zložitost]]
*[[Dynamický systém]]
*[[Fraktál]]
**[[Benoît Mandelbrot]]
**[[Mandelbrotova množina]]
**[[Juliova množina]]
*[[Hrana chaosu]]
*[[Mitchell Feigenbaum]]
== Externé linky ==
*http://www.nbi.dk/ChaosBook/
*[http://www.libraryreference.org/chaos.html Chaos Theory and Education]
*[http://www.imho.com/grae/chaos/chaos.html Chaos Theory: A Brief Introduction]
*[http://www.ae.uiuc.edu/lndvl Linear and Nonlinear Dynamics and Vibrations Laboratory at the University of Illinois]
*[http://hypertextbook.com/chaos/ The Chaos Hypertextbook]. An introductory primer on chaos and fractals.
* ''Chaos Theory in the Social Sciences'', edited by L Douglas Kiel, Euel W Elliott.
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/chaos.shtml Emergence of Chaos]
[[Kategória:Matematika]]
| |||