Komplexné číslo: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 11 bajtov ,  pred 11 rokmi
d
robot Zmenil: yo:Nọ́mbà aṣòro; kozmetické zmeny
d (robot Zmenil: ar:عدد مركب)
d (robot Zmenil: yo:Nọ́mbà aṣòro; kozmetické zmeny)
[[ObrázokSúbor:Complex number.jpg|right|thumb|Znázornenie komplexných čísel v Gaussovej rovine]]
'''Komplexné čísla''' sú zovšeobecnením pojmu [[reálne čísla]]. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak sa číslo '''i''' definuje ako riešenie rovnice <math>x^2=-1</math>, potom všetky polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú.
 
 
== Imaginárne čísla ==
V iných miestach roviny sa nachádzajú čísla, ktoré nazývame [[imaginárne čísla]]. Spolu so všetkými [[reálne čísla|reálnymi číslami]] tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik [[Gauss]] a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala [[Gaussova rovina]]. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorá sa v grafoch stotožňuje s osou x ([[reálna os]]) a na ňu kolmú os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].
 
== Zápis komplexných čísel ==
Potom má komplexné číslo tvar
:<math>|z| (\cos \phi + i\sin \phi )\,\!</math>
kde |z| je veľkosť komplexného čísla a <math>\phi\,\!</math> je uhol, ktorý zviera s reálnou osou. Tento tvar je veľmi jednoducho možné odvodiť z [[pravouhlý trojuholník|pravouhlého trojuholníka]], ktorý vznikne priemetmi [[Vektor (matematika)|vektorvektora]]a komplexného čísla na reálnu a imaginárnu os a zo znalostí funkcií [[sínus]] a [[kosínus]].
:<math>|z| = \sqrt{(a^2 + b^2)}\!</math>
:<math>\cos \phi =\frac a{|z|}\!</math>
 
=== Hlavné funkcie ===
Majme komplexné číslo '''z''' = ''a + b'''''i''', potom:<br />
reálna časť - <math>\operatorname{Re}(z) = a</math><br />
imaginárna časť - <math>\operatorname{Im}(z) = b</math><br />
uhol zvierajúci s reálnou osou (argument) - <math>\operatorname{Arg}(z) = \arctan \frac{b}{a}</math> (pre naše operácie v [[Radián|radiánoch]])<br />
absolútna hodnota - veľkosť komplexného čísla - <math>\operatorname{Abs}(z) = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math><br />
 
=== Sčítavanie komplexných čísel ===
[[ImageSúbor:Complex numbers addition.png|right|thumb|Sčítavanie komplexných čísel.]]
Dve komplexné čísla sa sčítavajú tak, že sa sčítajú ich [[Vektor (matematika)|vektory]]. Do koncového bodu vektora prvého čísla sa umiestni začiatočný bod vektor/vektora druhého čísla. Výsledkom je vektor, ktorý spája začiatočný bod vektora prvého čísla s koncovým bodom vektora druhého čísla. Výsledkom sú koncové súradnice výsledného [[vektor]]a v [[Gaussova rovina|Gaussovej rovine]].
Súčet dvoch komplexných čísel možno urobiť aj algebricky: Majme dve komplexné čísla, (a + b*'''i''') a (c + d*'''i'''). Ich súčet vypočítame ako (a + b*'''i''') + (c + d*'''i''') = a + c + b*'''i''' + d*'''i''' = [(a +c) + '''i'''*(b + d)]. Vidno, že súčtom dvoch komplexných čísel je znovu komplexné číslo, ktorého reálna časť je (a + c) a imaginárna časť je (b + d).
 
=== Násobenie komplexných čísel ===
[[ImageSúbor:Complex numbers multiplication.png|right|thumb|Násobenie komplexných čísel.]]
Násobenie komplexných čísel zahŕňa v sebe dve geometrické transformácie, '''rovnoľahlosť''' (t.j. natiahnutie alebo skrátenie) a '''otáčanie'''.
 
Z predchádzajúcich častí vieme, že ak chceme umocniť komplexné číslo reálnym, umocníme jeho veľkosť (absolútnu hodnotu) a vynásobíme jeho argument daným reálnym číslom:
:<math>z^x = (a + b\mathbf{i})^x = |z|^x(\cos x\phi + \mathbf{i} \sin x\phi)</math>
kde <math>\phi</math> je argument daného komplexného čísla.<br /><br />
Ak chceme umocniť komplexné číslo komplexným číslom, vychádzame zo vzorca
:<math>x^y = e^{y \ln x} \,\!</math>,
[[vi:Trường số phức]]
[[vls:Complexe getalln]]
[[yo:Nọ́mbà tóṣòroaṣòro]]
[[zh:复数 (数学)]]
[[zh-classical:複數]]
118 224

úprav