Verzia z 12:24, 11. november 2009 upraviť Mercy (diskusia \| príspevky) 8 556 editací d Verzia používateľa 78.99.180.45 (diskusia) bola vrátená, bola obnovená verzia od SieBot ← Predchádzajúca úprava		Verzia z 11:11, 24. február 2010 upraviť vrátiť JAnDbot (diskusia \| príspevky) Boti 139 628 editací d robot Zmenil: pl:Pochodna; kozmetické zmeny Ďalšia úprava →
Riadok 1: [[~~Obrázok~~Súbor:Tangent to a curve.svg\|right\|thumb\|Derivácia funkcie v nejakom bode sa rovná smernici jej dotyčnice v tomto bode]] '''Derivácia''' nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných. Opačným procesom k derivovaniu je [[integrál\|integrovanie]]. Je to jeden zo základných pojmov [[matematika\|matematiky]], konkrétne [[diferenciálny počet\|diferenciálneho počtu]]. Koncept derivácie sa dá intrepretovať rôznymi spôsobmi, napríklad v prípade dvojrozmerného [[graf funkcie\|grafu funkcie]] ''f''(''x''), je derivácia tejto funkcie v ľubovoľnom bode (v ktorom existuje) rovná [[~~smernica_~~smernica (matematika)\|smernici]] [[dotyčnica\|dotyčnice]] tohto grafu. Z toho vidno, že sa pojem derivácie objavuje aj v mnohých [[geometria\|geometrických]] súvislostiach, napr. pri pojme [[konkávnosť]]. == Definícia derivácie == Riadok 18: Derivácia sa značí niekoľkými spôsobmi: * <math>f'(x) \quad</math> (''derivácia funkcie f ktorá závisí od premennej x''), * <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)</math> (''derivácia funkcie f(x) podľa premennej x''), * <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math> (''d f podľa d x''), * <math>D_x f \quad</math> (''d podľa x f''), * [[Isaac Newton\|Newtonova]] notácia používa bodku nad premennou: <math>\dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x'(t)</math>, používa sa obvykle iba vo [[fyzika\|fyzike]] pre derivovanie podľa premennej vyjadrujúcej [[čas]] (''t''). d''x'' v niektorých zápisoch je dnes len obyčajný symbol bez názorného obsahu. Nie vždy však limita, ktorá deriváciu definuje, existuje a je konečná, čiže nie každá funkcia má v každom bode deriváciu. Hovoríme, že funkcia ''f'' je v bode ''x'' '''diferencovateľná''', ak v tomto bode derivácia existuje; funkcia je diferencovateľná na [[interval~~\|intervale~~]]e ''I'', ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Funkcia nemá deriváciu v mieste, kde nie je [[spojitá funkcia\|spojitá]], ale spojitosť funkcie existenciu derivácie nezaručuje – funkcia môže mať v danom bode zvislú dotyčnicu (čo by zodpovedalo nekonečnej derivácii, čo je nezmysel), prípadne v danom bode nemusí mať dotyčnicu vôbec (v mieste, kde má graf funkcie „špičku“, napr. absolútna hodnota x nemá v bode nula deriváciu). Existujú dokonca funkcie, ktoré sú spojité v každom bode, ale nemajú v žiadnom bode deriváciu (napr. [[Weierstrassova funkcia]]). Ak je daná funkcia diferencovateľná na nejakom intervale, môžeme na tomto intervale definovať funkciu, ktorá je v každom bode tohto intervalu rovná príslušnej derivácii. Takáto funkcia sa potom označuje prosto ako ''derivácia funkcie f''. Riadok 85: * '''Derivácia súčinu:''' (''fg'')′ = ''f′g'' + ''fg′'' pre všetky funkcie ''f'', ''g''. * '''Derivácia podielu:''' <math>\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> pre všetky funkcie ''f'', ''g'', kde ''g'' ≠ 0. * '''Derivácia zloženej funkcie:''' Ak ''f''(''x'') = ''h''(''g''(''x'')), potom ''f′''(''x'') = ''h′''(''g''(''x'')) ~~⋅~~⋅ ''g′''(''x''). * '''Derivácia [[inverznej funkcie]]:''' Ak sú ''f''(''x'') i ''f''<sup>−1</sup>(''x'') obe diferencovateľné, potom vtedy, keď Δx ≠ 0 ak Δy ≠ 0, platí <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)^{-1}</math>. * '''Derivácia jednej premenné voči druhej, ak sú obe funkciou tretej premennej:''' Ak ''x'' = ''f''(''t'') a ''y'' = ''g''(''t''), potom <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} }{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} }</math>. Riadok 95: * ''f''(''x'') = 3; ''f′''(''x'') = 0. * ''f''(''x'') = ''x''; ''f′''(''x'') = 1, * ''f''(''x'') = 2''x''; ''f′''(''x'') = 2 ~~⋅~~⋅ 1 = 2. * ''f''(''x'') = 5''x''³; ''f′''(''x'') = 15''x''²; ''f″''(''x'') = 30''x'' * ''f''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>; ''f′''(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>. * ''f''(''x'') = ln ''x''; ''f′''(''x'') = ''x''<sup>−1</sup>. * ''f''(''x'') = ''x''³ + 2''x''² − 5''x''; ''f′''(''x'') = 3''x''² + 4''x'' − 5. * ''f''(''x'') = sin ''x'' ~~⋅~~⋅ cos ''x''; ''f′''(''x'') = cos² ''x'' − sin² ''x'' (= cos 2''x''). * <math>f(x) = \frac{1}{\arcsin{x}}</math>; <math>f'(x) = \frac{-1}{(\arcsin{x})^2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }</math>. * <math>f(x) = x^x = e^{x \ln{x} }</math>; <math>f'(x) = e^{x \ln{x} } \cdot \left( 1\cdot\ln{x} + x\frac{1}{x} \right) = x^x \cdot \left(\ln{x} + 1 \right)</math>. Riadok 114: * (V bodoch, kde funkcia nemá prvú či druhú deriváciu, je nutné použiť iné kritériá.) Tieto kritériá sa často používajú v [[optimalizačná úloha\|optimalizačných úlohách]]. Ak je napr. požadované nájdenie [[obdĺžnik]]a, ktorý pri zadanom obvode má maximálnu plochu, treba nájsť maximum funkcie ''f''(''x'') = ''x'' ~~⋅~~⋅ (''o''/2 − ''x''). Jej deriváciou je funkcia ''f′''(''x'') = ''o''/2 − 2''x'', ktorá je nulová pre ''x'' = ''o''/4. Druhá derivácia funkcie ''f'' je ''f″''(''x'') = −2, čiže je všade kladná. V bode ''x'' = ''o''/4 má teda funkcia ''f'' maximum. Znamená to teda, že zo všetkých obdĺžnikov o zadanom obvode má najväčší obsah ten, ktorý má všetky štyri strany rovnako dlhé, čiže [[štvorec]]. === Analýza správania funkcie === Riadok 151: [[Kategória:Diferenciálny počet]] {{Link FA\|ca}}▼ {{Link FA\|de}} ▲{{Link FA\|ca}} {{Link FA\|lmo}} {{Link FA\|mk}} Řádek 195 ⟶ 194: [[nn:Derivasjon]] [[no:Derivasjon]] [[pl:Pochodna ~~funkcji~~]] [[pt:Derivada]] [[ro:Derivată]]

Derivácia (funkcia): Rozdiel medzi revíziami