Schrödingerova rovnica: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 3 995 bajtov ,  pred 11 rokmi
nahradenie pôvodného nepresného a nedostatočného textu prekladom z enWiki
(nahradenie pôvodného nepresného a nedostatočného textu prekladom z enWiki)
'''Schrödingerova rovnica''' je základná [[diferenciálna rovnica]], ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému vo formalizmeformalizmom [[vlnová mechanika|vlnovej mechaniky]].Sformuloval juJe vústrednou rokurovnicou [[1925]]kvantovej mechaniky. Pomenovaná je podľa [[Erwin Schrödinger|Erwina Schrödingera]]., Jejktorý zjednodušenéju sformuloval v roku 1926.{{chýba odvodenie:citácia}}
 
Schrödingerova rovnica môže byť matematicky pretransformovaná na Heisenbergovu maticovú mechaniku a Feynmanovu formuláciu dĺžkového integrálu.
Postupnej vlne šíriacej sa v smere <math>x</math> a určenej veličinami zo vzťahov pre [[de Broglieove vlny]] (de Broglieho) zodpovedá [[vlnová funkcia]]
 
== Schrödingerova rovnica ==
<math>\psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}</math>,
 
V závislosti od toho, aký systém chceme popísať, Schrödingerovu rovnicu môžeme napísať vo viacerých tvaroch. V tejto časti predstavujeme rovnicu pre všeobecné a jednoduché prípady, ktoré sú predmetom mnohých učebníc.
kde [[uhlová frekvencia]] <math>\omega</math> je definovaná vzťahom
 
=== Všeobecný kvantový systém ===
<math>\omega = 2\pi\nu</math>
Pre všeobecný kvantový systém platí:<ref>
{{Citácia knihy
| priezvisko = Shankar
| meno = F.
| odkaz na autora =
| titul = Principles of Quantum Mechanics
| vydavateľ = [[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
| miesto =
| rok = 1994
| isbn = 978-0-306-44790-7
| vydanie = 2
| kapitola =
| strany = 143
| jazyk = angličtina
}}</ref>
 
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat H \Psi</math>
a [[vlnové číslo]] <math>k</math> je definované ako
 
kde
<math>k = 2\pi\ / \lambda</math>.
 
:* <math>\Psi</math> je vlnová funkcia
Pretože platí
:* <math>i \hbar \frac {\partial}{\partial t}</math> je operátor energie (<math>i</math> je [[imaginárna jednotka]] a <math>\hbar</math> je [[Planckova konštanta]] vydelená číslom 2<math>\pi</math>),
:* <math>\hat H</math> je [[Hamiltonián]].
 
=== Jedna častica s potenciálnou energiou ===
<math>i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=E\psi</math>
 
Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:<ref>
a
{{Citácia knihy
| priezvisko = Shankar
| meno = F.
| odkaz na autora =
| titul = Principles of Quantum Mechanics
| vydavateľ = [[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
| miesto =
| rok = 1994
| isbn = 978-0-306-44790-7
| vydanie = 2
| kapitola =
| strany = 143
| jazyk = angličtina
}}</ref>
 
:<math>-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial xt} \Psi(\mathbf{r},\,t) =p -\psifrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)</math>,
 
kde
sú [[energia|energie]] a [[hybnosť]] spojené s touto vlnou vlastnými stavmi diferenciálnych operátorov <math>i\hbar\partial / \partial t</math> a <math>-i\hbar\partial / \partial x</math>. Tieto operátory zodpovedajú energii a hybnosti vo všeobecnom kvantovo mechanickom zmysle, takže môžeme stotožniť operátory <math>E</math> s <math>i\hbar\partial / \partial t</math> a <math>p_x</math> s <math>-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}</math>, alebo môžeme posledný vzťah zovšeobecniť na [[trojrozmerný priestor]] a zapíšeme vektorovo:
 
:* <math>\vec p s - i \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2</math> je operátor kinetickej energie (''m'' je hmotnosť častice),
:* <math>\nabla^2</math> je [[Laplaceov operátor]]. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar<math>\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z}^2}</math>, kde ''x'', ''y'' a ''z'' sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
:* <math>V\left(\mathbf{r}\right)</math> je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom '''r''',
:* <math>\Psi(\mathbf{r},\,t)</math> je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom '''r'''.
 
=== Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica===
kde <math>\nabla</math> ([[operátor nabla|nabla]]) je operátor vektorového [[gradient]]u
Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou ''V'' má tvar:<ref>
{{Citácia knihy
| priezvisko = Shankar
| meno = F
| odkaz na autora =
| titul = Principles of Quantum Mechanics
| vydavateľ = [[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
| miesto =
| rok = 1994
| isbn = 978-0-306-44790-7
| vydanie = 2
| kapitola =
| strany = 145
| jazyk = angličtina
}}</ref>
 
:<math>{E}\nablapsi(r) = (\frac- {\partial}{hbar^2 \partialover x2m}, \frac{\partial}{\partialnabla^2 y},\frac{\partial}{\partialpsi(r) z}+ V(r) \psi(r).</math>.
 
== Odvodenie ==
Klasická energia je súčtom [[kinetická energia|kinetickej]] a [[potenciálna energia|potenciálnej energie]]. Pre [[častica|časticu]] s hmotnosťou <math>m</math>, pohybujúcu sa v potenciáli <math>V</math> je daná ako
 
=== Krátke heuristické odvodenie ===
<math>E = \frac{\vec p^2}{2m}+V</math>.
Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.{{chýba citácia}}
 
==== Predpoklady ====
Ak tento vzťah vyjadríme pomocou kvantovo mechanických operátorov a necháme pôsobiť diferenciálne operátory na [[vlnová funkcia|vlnovú funkciu]] <math>\psi(\vec x, t)</math>, dostaneme konečný tvar Schrödingerovej rovnice:
 
#Celková energia častice ''E'' je
<math>i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=[-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V(\vec x)]\psi</math>.
#:<math>E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.</math>
#:Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou ''m'', kde celková energia ''E'' je daná súčtom kinetickej energie ''T'' a potenciálnej energie ''V'' (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). ''p'' je hybnosť častice a ''m'' jej hmotnosť.
#[[Fotoelektrický efekt|Einsteinova hypotéza kvánt energie]] z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie ''ν'' (alebo [[uhlová frekvencia|uhlovej frekvencie]] ''ω''&nbsp;=&nbsp;2π''ν'') korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.
#:<math>E = h\nu = \hbar \omega \;,</math>
# [[de Broglieho hypotéza]] z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice ''p'' je vo vzťahu ku [[vlnová dĺžka|vlnovej dĺžke]] ''λ'' (alebo [[vlnové čislo|vlnového čisla]] ''k'') takom, že platí:
#:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k\;,</math>
# Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre [[rovinná vlna|rovinnú vlnu]]. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje [[princíp superpozicie]], a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je [[lineárna diferenciálna rovnica|lineárna]].
==== Vyjadrenie vlnovej funkcie vo forme komplexnej rovinnej vlny ====
 
Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):
Operátor v hranatej zátvorke sa nazýva [[Hamiltonián]].
 
:<math>\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}</math>
[[Kategória: Fyzika]]
 
:kde A je komplexná konštanta
 
Platí:
 
:<math>E = \frac{p^2}{2m} </math>
 
Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):
 
:<math>\hbar\omega = {\hbar^2\ k^2\over 2m}</math>
 
Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:
 
:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{x},t) = \hbar\omega \Psi (\mathbf{x},t)</math>
 
 
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (\mathbf{x},t) = {\hbar^2\ k^2\over 2m} \Psi (\mathbf{x},t)</math>
 
 
Keďže platí (ii), platí aj
 
 
:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{x},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi (\mathbf{x},t),</math>
 
 
čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.
 
Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:
 
 
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi</math>
 
 
== Referencie ==
 
{{Referencie}}
 
== Zdroj ==
* {{preklad|en|Schrödinger equation|350543509}}
 
[[Kategória: Kvantová mechanika]]
 
[[ar:معادلة شرودنغر]]
6 976

úprav