Wikipédia

Fourierov rad: Rozdiel medzi revíziami

Interaktívne prechádzať históriu
← Predchádzajúca úpravaĎalšia úprava →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálneWikitext
Xqbot (diskusia | príspevky)
118 631 editací
Bez shrnutí editace
Riadok 1:
'''Fourierov rad''' je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi [[Joseph Fourier|Josephovi Fourierovi]]. Slúži k zápisu akéhokoľvek[[Periodická funkcia|periodického priebehu]] pomocou [[funkcia|funkcií]] [[Sínus|sínus]] a [[Kosínus|kosínus]]. PomocouZákladná tohtomyšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je možnérozklad rozložiť[[Vektor aj(matematika)|vektora]] značnedo komplikovanéortogonálnej bázy. [[Lineárny priestor|Lineárnym priestorom]] je v tomto prípade priestor (istých) [[funkcia|funkciefunkcií]] definovaných na intervale <math> [-\pi,\pi]</math> ktoré bya inakskalárnym bolsúčinom problémje [[integrál|integrál]]: zobraziť.
 
:<math>b_k (f,g)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(xt) \sin{g(kxt)}dxdt </math>. ▼
== Kanonický tvar ==
 
Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie
Každú, všeobecne komplexnú funkciu ''f''(''x'') reálnej premennej ''x'', ktorá je po častiach spojitá, periodická s periódou 2π a kvadraticky integrovateľná v intervale (-π, π), t.j. pre ktorú platí
 
:<math>\int_{[-\pi}^{,\pi}]\ni |f(x)|^2t\mapsto dx<+1,\infty \sin nt,\ \cos nt, \ \ \ n\in\mathbb{N} </math>
 
ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu <math> f:\ [-\pi,\pi]\to \mathbb{R} </math> vieme nájsť jej ''súradnice'' voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku <math> e </math> je daná vzťahom
je možné zapísať ako
 
:<math>f(x) f_e= \frac{a_0(f,e)}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}[ a_k \cos(kxe,e)} +. b_k \sin(kx)]</math>,
 
Keďže <math> (1,1)=2\pi, (\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi </math> tak funkcii <math> f </math> priraďujeme jej Fourierov rad
kde pre výpočet jednotlivých koeficientov ''a''<sub>''k''</sub> a ''b''<sub>''k''</sub> použijeme vzorce
 
:<math>a_k= f(t) \sim \frac{1a_0}{\pi2} +\int_sum_{-\pik=1}^{\piinfty}[ fa_k \cos(xkt) + b_k \cos{sin(kxkt)}dx],</math>,
 
ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami
▲:<math>b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx</math>.
 
:<math>a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{(kx)}dx, \ \ \ k=0,1,2,\dots </math>,
V praxi sa funkcia ''f''(''x'') aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa vo všeobecnosti s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.▼
 
:<math>b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots </math>.
 
Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou <math> f </math> a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledovné tvrdenie: ak je funkcia <math> f </math> ohraničená a po častiach [[Spojitá funkcia|spojitá]] a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú [[Derivácia (funkcia)|deriváciu]] tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusi (v niektorom bode) vôbec konvergovať.
 
 
▲V praxi sa funkcia ''f''(''x'') aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa vo všeobecnostigenericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.
 
== Pozri aj ==
Zdroj: „https://sk.wikipedia.org/wiki/Fourierov_rad“