Fourierov rad: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d robot Zmenil: hi:फ़ोरियर श्रेणी |
Bez shrnutí editace |
||
Riadok 1:
'''Fourierov rad''' je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi [[Joseph Fourier|Josephovi Fourierovi]]. Slúži k zápisu
Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie
:<math>
ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu <math> f:\ [-\pi,\pi]\to \mathbb{R} </math> vieme nájsť jej ''súradnice'' voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku <math> e </math> je daná vzťahom
:<math>
Keďže <math> (1,1)=2\pi, (\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi </math> tak funkcii <math> f </math> priraďujeme jej Fourierov rad
:<math>
ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami
▲:<math>b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx</math>.
:<math>a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos{(kx)}dx, \ \ \ k=0,1,2,\dots </math>,
V praxi sa funkcia ''f''(''x'') aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa vo všeobecnosti s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.▼
:<math>b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots </math>.
Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou <math> f </math> a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledovné tvrdenie: ak je funkcia <math> f </math> ohraničená a po častiach [[Spojitá funkcia|spojitá]] a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú [[Derivácia (funkcia)|deriváciu]] tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusi (v niektorom bode) vôbec konvergovať.
▲V praxi sa funkcia ''f''
== Pozri aj ==
|