Limita: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d robot Pridal: ms:Had (matematik) |
|||
Riadok 78:
:<math> \lim_{n \to \infty} x_n = L </math>
(
:pre každé ε>0 existuje prirodzené číslo ''n''<sub>0</sub> také, že pre všetky ''n''>''n''<sub>0</sub> platí |''x''<sub>''n''</sub> - ''L''| < ε.
Riadok 84:
Intuitívne to znamená, že niekedy všetky prvky postupnosti sa dostanú tak blízko k limite, ako len budeme chcieť, keďže [[absolútna hodnota]] |''x''<sub>''n''</sub> - ''L''| sa dá interpretovať ako vzdialenosť ''x''<sub>''n''</sub> od ''L''. Nie každá postupnosť má limitu; ak ju má, voláme ju ''konvergentná'', inak je ''divergentná''. Dá sa ukázať, že ak limita existuje, je jediná.
Limita postupnosti a limita funkcie sú, samozrejme, veľmi úzko späté. Postupnosť nie je nič iné ako funkcia definovaná na množine [[prirodzené číslo|prirodzených čísel]]. Keďže jediným [[hromadný bod|hromadným bodom]] tejto množiny je kladné [[nekonečno]], má zmysel skúmať limitu iba tu. Vyššie spomenutá definícia je len rozpísanie limity funkcie v nekonečne a ekvivalentne upravenej pre prirodzené čísla. Na druhej strane sa dá tento špeciálny prípad -- limita postupnosti -- použiť aj na definovanie limity funkcie, keďže limita funkcie ''f'' v bode ''x'' sa rovná limite postupnosti ''x''<sub>''n''</sub>=''f''(''x''+1/''n'') (ak existuje).
Vo všeobecnej situácii je ťažké ak nie nemožné zistiť či postupnosť má limitu tým, že sa overí definícia - teda že sa nájde limita. Ak uvažujeme o postupnosti reálnych čísel a o jej (prípadnej) reálnej limite, tak máme Cauchy-Bolzanove kritérium existencie limity, ktoré neoperuje samotnou hodnotou limity: postupnosť reálnych čísel <math> \{ a_n\}</math> je konvergentná (t.j. má limitu) práve vtedy keď pre každé <math> \epsilon >0</math> existuje <math> N\in\mathbb{N}</math> že pre všetky <math> p,q>N </math> je <math> |a_p-a_q|<\epsilon </math>. Slovne povedané: postupnosť má limitu práve vtedy keď pre každú presnosť <math> \epsilon >0</math> existuje také prirodzené číslo, že ak vyberieme ľubovoľne dva prvky z postupnosti ktorých poradové číslo je väčšie ako dotyčné prirodzené číslo, tak to už zaručí, že vybrané dva prvky postupnosti sú k sebe bližšie ako <math> \epsilon >0</math>.
[[Kategória:Matematická analýza]]
| |||