Derivácia (funkcia): Rozdiel medzi revíziami

Nie vždy však limita, ktorá deriváciu definuje, existuje a je konečná, čiže nie každá funkcia má v každom bode deriváciu.

Hovoríme, že funkcia ''f'' je v bode ''x'' '''diferencovateľná''', ak hlavná časť prírastku funkcie v tomtookolí bodetohoto deriváciabodu je ''lineárna''. Teda ak existuje; funkciačíslo <math> \alpha </math> také, že
: <math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)-\alpha h}{h}=0 . </math>
Funkcia je diferencovateľná v bode práve vtedy keď v ňom má deriváciu a v tom prípade dotyčné číslo <math> \alpha </math> je
rovné tej derivácii.

Funkcia je diferencovateľná na [[interval]]e ''I'', ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Funkcia nemá deriváciu v mieste, kde nie je [[spojitá funkcia|spojitá]], ale spojitosť funkcie existenciu derivácie nezaručuje – funkcia môže mať v danom bode zvislú dotyčnicu (čo by zodpovedalo nekonečnej derivácii, čo je nezmysel), prípadne v danom bode nemusí mať dotyčnicu vôbec (v mieste, kde má graf funkcie „špičku“, napr. absolútna hodnota x nemá v bode nula deriváciu). Existujú dokonca funkcie, ktoré sú spojité v každom bode, ale nemajú v žiadnom bode deriváciu (napr. [[Weierstrassova funkcia]]).