Obyčajná diferenciálna rovnica: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
EmausBot (diskusia | príspevky)
Bez shrnutí editace
Riadok 1:
{{Bezzdroja}}
 
'''Obyčajná diferenciálna rovnica''' je v [[matematika|matematike]] [[diferenciálna rovnica]], ktorá obsahuje neznámu [[zobrazenie (matematika)|funkciu]] o jednej nezávisle [[premenná|premennej]] a jej prvých ''n'' [[derivácia (funkcia)|derivácií]] (niektoré môžu byť aj s koeficientom 0). Rád obyčajnej diferenciálnej rovnice sa definuje ako rád najvyššej derivácie vyskytujúcej sa v rovnici s nenulovým koeficientom. Presnejšie, obyčajná diferenciálna rovnica ''n''-tého rádu je rovnica tvaru
:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}\right) = 0</math>,
kde ''y'' je neznáma funkcia a funkcia <math> F </math> naozaj závisí od premennej <math> y^{(n)} </math> . Napríklad rovnica
kde ''y'' je neznáma funkcia. Prívlastok ''obyčajné'' sa u tejto triedy diferenciálnych rovníc používa najmä za účelom ich odlíšenia od [[parciálna diferenciálna rovnica|parciálnych diferenciálnych rovníc]], ktoré môžu obsahovať aj funkcie o viacerých nezávisle premenných a ich [[parciálna derivácia|parciálne derivácie]]. Na základe definície sú obyčajné diferenciálne rovnice podtriedou (špeciálnym prípadom) parciálnych diferenciálnych rovníc, avšak diferenciálna rovnica sa väčšinou zvykne označovať ako parciálna len v prípade, že nie je obyčajná.
:<math>y'''(x)-xy(x)y'(x)-y^5(x) = 0</math>
je ''tretieho rádu''.
kde ''y'' je neznáma funkcia. Prívlastok ''obyčajné'' sa u tejto triedy diferenciálnych rovníc používa najmä za účelom ich odlíšenia od [[parciálna diferenciálna rovnica|parciálnych diferenciálnych rovníc]], ktoré môžu obsahovať aj funkcie o viacerých nezávisle premenných a ich [[parciálna derivácia|parciálne derivácie]]. Na základe definície sú obyčajné diferenciálne rovnice podtriedou (špeciálnym prípadom) parciálnych diferenciálnych rovníc, avšak diferenciálna rovnica sa väčšinou zvykne označovať ako parciálna len v prípade, že nie je obyčajná.
 
 
 
Ak je funkcia <math> F </math> lineárna funkcia v premenných <math> y,y',\dots , y^{(n)} </math> (nemusí byť lineárna funkcia nezávisle premennej <math> x </math>) tak hovoríme o lineárnej diferenciálnej rovnici. V opačnom prípade o nelineárnej diferenciálnej rovnici. Napríklad rovnica
 
:<math>y''(x)-\sin(y(x)) = 0</math>
 
je nelineárna druhého rádu a rovnica
 
:<math>y''(x)-\sin(x) = 0</math>
 
je lineárna druhého rádu.
 
Ak neznáma funkcia <math> y </math> a funkcia <math> F </math> majú hodnoty v priestore <math> \mathbb{R}^N </math> tak hovoríme o '''sústave obyčajných diferenciálnych rovníc'''.
 
Diferenciálne rovnice majú široké uplatnenie v matematickom modelovaní v prírodných, technických aj humanitných vedách. Napríklad matematické vyjadrenie druhého Newtonovho zákona (pre pohyb v bežnom trojrozmernom priestore) je sústava troch diferenciálnych rovníc
 
:<math>m\vec{r}''(t) = \vec{f}(\vec{r}(t),t) , </math>
 
kde <math> m </math> je hmotnosť telesa, zobrazenie <math> \mathbb{R}\ni t\mapsto \vec{r}(t)\in \mathbb{R}^3 </math> je trajektória, ktorú hľadáme (riešime úlohu o pohybe a jej riešením je práve trajektória) a <math> \mathbb{R}^4\ni (\vec{r},t)\mapsto \vec{f}(\vec{r},t)\in\mathbb{R}^3</math> je sila, ktorá pôsobí na teleso.
 
{{Matematický výhonok}}