Lebesgueov integrál: Rozdiel medzi revíziami

'''Lebesgueov [[integrál]]''' alebo '''L-integrál''' označuje v [[matematika|matematike]] definíciu [[určitý integrál|určitého integrálu]], založenú na [[teória miery|teórii miery]], konkrétne tzv. [[Lebesgueova miera|Lebesgueovej miery]].

 

Lebesgueov integrál je všeobecnejší než [[Riemannov integrál|integrál Riemannov]], čo v praxi znamená, že ak existuje Riemannov integrál, tak existuje tiež Lebesgueov integrál, pričom hodnoty oboch integrálov sú zhodné. Ak Riemannov integrál neexistuje, môže existovat integrál Lebesgueov. Opačné tvrdenie však neplatí (napr. [[Dirichletova funkcia]], ktorej funkčná hodnota je 1 ak je argument racionálne číslo a je rovná 0 ak je argumentom iracionálne číslo, má Lebesgueov integrál, ale nemá [[Riemannov integrál]]).

 

 

Pri konštrukcii Lebesgueova integrálu postupujeme tak, že rozdelíme [[obor hodnôt]] ohraničenej [[funkcia (matematika)|funkcie]] <math>f(x)</math> na malé [[interval (matematika)|intervaly]]. Už tu je vidieť rozdiel oproti Riemannovmu integrálu, pri ktorého konštrukcii sa delí [[definičný obor]]. Na intervale <math>\langle A,B\rangle</math> teda zvolíme [[bod]]y <math>A=y_0<y_1<y_2< \cdots<y_{n-1}<y_n=B</math>, ktoré určujú určité delenie tohoto intervalu, ktoré označíme ''d'' . Ako <math>\mathbf{E}_k</math> označíme [[množina|množinu]] bodov <math>x \in \langle a,b\rangle</math>, pre ktoré platí <math>y_{k-1} \leq f(x) < y_k</math>. Pre výpočet Lebesgueovho integrálu potrebujeme poznať [[Lebesgueova miera|Lebesgueovu mieru]] každej množiny <math>\mathbf{E}_k</math>, ktorú označíme <math>\mu(\mathbf{E}_k)</math>. ''Horný integrálny súčet'' pri danom delení ''d'' potom vyjadríme vzťahom

:<math>S(d) = \sum_{k=1}^n y_k \mu(\mathbf{E}_k)</math>

:<math>f_K(x) = K \mbox{ pre } f(x)>K</math>

 

:<math>\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x = \lim_{K \to \infty} \int_\mathbf{I} f_K(x)\mathrm{d}x</math>

Ak [[limita]] na pravej strane existuje, hovoríme, že integrál ''konverguje''. Ak je nevlastná alebo neexistuje, potom hovoríme, že integrál ''diverguje''.

Pomocu tohto rozkladu možno vyjadriť Lebesgueov integrál merateľnej funkcie <math>f(x)</math>.

 

Máme za úlohu sčítať peniaze, ktoré sme dostali od jednotlivých ľudí. Môžeme postupovať dvomi spôsobmi.

 

# Robiť kôpky peňazí a mincí rovnakej hodnoty, určiť ich počet v každej kôpke a vynásobiť ho hodnotou bankovky resp. mince.Nakoniec sčítať všetky kôpky. (Lebesgueov prístup)

 

* [[Integrál]]

* [[Lebesgueova miera]]