Lebesgueov integrál: Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
d r2.7.1) (robot Pridal: ko:르베그 적분 |
Bez shrnutí editace |
||
Riadok 17:
Spoločnú hodnotu infima horných a suprema dolných integrálnych súčtov nazýváme '''Lebesgueovým integrálom''' funkcie <math>f(x)</math> a zapisujeme <math>\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x</math>, kde <math>\mathbf{I}=\langle a,b\rangle</math>, prípadne <math>\int_a^b f(x)\mathbf{d}x</math>. Pre zdôraznenie použitia miery možno tiež písať <math>\int_\mathbf{I} f \mathrm{d}\mu</math>. Ak je nutné odlíšiť Lebesgueov integrál od integrálu Riemannovho, potom Lebesgueov integrál zapisujeme ako <math>L\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x</math>.
Ak existuje Lebesgueov integrál funkcie <math>f(x)</math>, potom o funkcii <math>f(x)</math> hovoríme, že je ''integrovateľná v Lebesgueovom zmysle''. Ak je funkcia <math>f(x)</math> integrovateľná v Riemannovom zmysle, je integrovateľná tiež v Lebesgueovom zmysle, pričom hodnoty oboch integrálov (Riemannovho a Lebesgueovho) sú si rovné. Opačné tvrdenie však neplatí, tzn. funkcia integrovateľná v Lebesgueovom zmysle nemusí byť integrovateľná
Lebesgueov integrál je všeobecnejší než integrál Riemannov, pretože integrovať možno na ľubovolnej [[merateľná množina|merateľnej množine]]. Je možné dokázať tvrdenie, že každá ohraničená merateľná funkcia je integrovateľná v Lebesgueovom zmysle.
Riadok 23:
Lebesgueov integrál možno rozšíriť tiež na funkcie, ktoré nie sú ohraničené.
Máme funkciu <math>f(x)</math>, ktorá je merateľná na [[ohraničená množina|ohraničenej]]
:<math>f_K(x) = f(x) \mbox{ pre } f(x) \leq K</math>
:<math>f_K(x) = K \mbox{ pre } f(x)>K</math>
Riadok 43:
# Robiť kôpky peňazí a mincí rovnakej hodnoty, určiť ich počet v každej kôpke a vynásobiť ho hodnotou bankovky resp. mince.Nakoniec sčítať všetky kôpky. (Lebesgueov prístup)
==
* [[Integrál]]
* [[Lebesgueova miera]]
| |||