Mohutnosť (množina): Rozdiel medzi revíziami

* Zjednotenie čo i len jednej nespočítateľnej množiny a spočítateľnej množiny (môžu byť aj disjunktné, t. j. ich prienik je prázdna množina, t. j. nemajú spoločné prvky), je nespočítateľná množina

* Množina R je nespočítateľná množina. Mohutnosť |R| sa označuje '''c''' a nazýva sa mohutnosť [[kontinuum|kontinua]]. Vzhľadom na to, že R = Q U I (kde Q je množina racionálnych a I množina iracionálnych čísel, Q a I sú disjunktné množiny) a množina Q je spočítateľná (s mohutnosťou <math>\aleph_0</math>), jediná možnosť ako môže byť množina R reálnych čísel nespočítateľná je, že množina I iracionálnych čísel je nespočítateľná s mohutnosťou kontinua <math>c</math>. T.j. množiny I a R majú rovnaký počet prvkov! Pejoratívne povedané množina Q množine R vôbec nepridáva na veľkosti, t. j. monutnosti (tvorí len akýsi "prívesok") a stáva sa v porovnaní s R a I čo do mohutnosti úplne zanedbateľnou, resp. iracionálnych čísel je oveľa viac ako racionálnych.

* Potenčná množina (t. j. množina všetkých podmnožín) nekonečnej spočítateľnej množiny s mohutnosťou <math>\aleph_0</math>, je nekonečná avšak už nespočítateľná množina. Pri konečnej množine s <math>n</math> prvkami sa dá ľahko dokázať, ze potenčná množina <math>n</math>-prvkovej množiny má <math>2</math>^{<math>n</math>} prvkov. Dá sa dokázať, že medzi mohutnosťou <math>\aleph_0</math> množiny N (resp. Z, Q) a monutnosťou <math>c</math> množiny R, platí nasledujúci vztah, podľa ktorého možno tvrdiť, že potenčná množina (množina všetkých podmnožín) množiny N je už množina s inou mohutnosťou (konkrétne s mohutnosťou množiny R), t. j. pejoratívne povedané nekonečná množina všetkých podmnožín nekonečnej množiny N ,je už množina iného typu, množina nad úrovňou množiny N:

* <math>c = 2</math>^{<math>\aleph_0</math>} (t. j. <math>c > \aleph_0</math>)