Guľa (matematika): Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
Rainbot (diskusia | príspevky)
d Robot automaticky nahradil text: (-t.j. +t. j.)
Riadok 7:
V [[topológia|topológii]] znamená n-rozmerná guľa (obvykle sa značí <math>B_n</math>) [[topologický priestor]], ktorý je [[homeomorfný]] s n-rozmernou guľou v Euklidovskom priestore <math>\mathbb{R}^n</math>. V takomto širšom zmysle sa niekedy hovorí, že [[zem]] je guľa (ak keď je trochu zdeformovaná v porovnaní s presne Euklidovskou guľou).
 
naser si cune
== Objem a povrch obecnej gule v Euklidovskom priestore ==
N-rozmerná guľa s polomerom r v euklidovskom priestore <math>\mathbb{R}^n</math> má objem (presnejšie, n-rozmernú Lebesguovu mieru) určený vzorcom
:<math>
V_{nD} = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} r^n
</math>
alebo tiež
:<math>
V_{nD} =
\begin{cases}
\left ( \frac{n}{2}! \right )^{-1} \pi^{\frac{n}{2}} r^n, & \mbox{pre }n\mbox{ parne} \\
\frac{2^{\frac{n+1}{2}}}{n!!} \pi^{\frac{n-1}{2}} r^n, & \mbox{pre }n\mbox{ neparne}
\end{cases}
</math>
kde <math>\Gamma(1+n/2)</math> je prirodzené zobecnenie výrazu <math>(n/2)!</math> pre nepárne n (viď [[Gama funkcia]]) a n!! je [[dvojitý faktoriál]]. Je zaujímavé, že jednotková guľa (t. j. guľa s polomerom jedna) má najväčší objem v dimenzii n=5 a vo vyšších dimenziach sa jej objem limitne blíži k nule.
 
Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru (viď [[sféra]]). Veľkosť jej ''povrchu'' (t. j. jej (n-1)-rozmerný objem, presnejšie, (n-1)-rozmerná [[Hausdorfova miera]]) je
:<math>
S_{nD} = n\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} r^{n-1}
</math>
alebo
:<math>
S_{nD} =
\begin{cases}
n\left ( \frac{n}{2}!\right )^{-1}\pi^{\frac{n}{2}}r^{n-1}, & \mbox{pre }n\mbox{ parne} \\
2^{\frac{n+1}{2}}\frac{n}{(n!!)}\pi^{\frac{n-1}{2}}r^{n-1}, & \mbox{pre }n\mbox{ neparne}
\end{cases}
</math>
Všeobecne pre n rozmernú guľu platí:
:<math>
S_{nD}(r) = \frac{\mathrm{d}V_{nD}}{\mathrm{d}r} = V_{nD}'(r) = n\frac{V_{nD}(r)}{r}
</math>
 
== Vzorce pre 3-rozmernú guľu ==