Kompaktná množina: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
Bubamara (diskusia | príspevky)
JAnDbot (diskusia | príspevky)
d r2.5.2) (robot Zmenil: nl:Compacte ruimte, ro:Spațiu compact; kozmetické zmeny
Riadok 1:
'''Kompaktná množina''' alebo '''kompakt''' je taká [[množina]] bodov [[topologický priestor|topologického priestoru]], že z každého jej [[pokrytia]] [[otvorená množina|otvorenými množinami]] sa dá vybrať pokrytie konečné.
 
V [[Euklidovský priestor|Euklidovských priestoroch]] sú kompaktné množiny práve [[ohraničená množina|ohraničená]] a [[uzavretá množina|uzavreté]] [[podmnožina|podmnožiny]] Euklidovského priestoru. Napríklad v '''R''' je uzavretý [[jednotkový interval]] [0, 1] kompaktný, ale množina [[celé číslo|celých čísel]] '''Z''' nie (nie je ohraničená), ani polootvorený interval <nowiki>[0, 1)</nowiki> (nie je uzavretý).
 
Na [[metrický priestor|metrických priestoroch]] možno ekvivalentne definovať kompaktnú množinu pomocou [[postupnosť|postupností]]: kompaktná množina je taká množina, že z každej postupnosti v tejto množine sa dá vybrať [[konvergentná postupnosť|postupnosť konvergentná]] (v tejto množine). Kompaktná množina je na týchto priestoroch uzavretá a [[obmedzená množina|obmedzená]].
Riadok 14:
 
== Definície ==
=== Kompaktnosť podmnožín '''R'''<sup>''n''</sup> ===
Pre každú podmnožinu ''A'' Euklidovského priestoru '''R'''<sup>''n''</sup> sú nasledujúce podmienky ekvivalentné:
* Každé otvorené pokrytie ''A'' má konečné podpokrytie.
Riadok 24:
 
=== Kompaktnosť topologického priestoru ===
Vlastnosť "konečného podpokrytia" je abstraktnejšia ako "uzavretosť a ohraničenosť", ale má tú výhodu, že k jej použitiu stačí znalosť topológie danej množiny, tj. nie je nutná znalosť metriky alebo okolitého priestoru. Teda kompaktnosť je [[topologická vlastnosť]].
 
Topologický priestor ''X'' sa nazve kompaktným, ak z každého jeho otvoreného pokrytia možno vybrať konečné podpokrytie. Formálne to znamená:
:Pre ľubovoľný systém <math>\{U_i\}_{i\in I}</math> otvorených podmnožín <math>X</math> taký, že <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq X</math>, existuje konečná podmnožina <math>J\subset I</math> tak, že <math>\bigcup_{i\in J} U_i \supseteq X</math>.
 
== Príklady kompaktných priestorov ==
Riadok 75:
* [[Parakompaktný priestor]]
 
== Literatúra ==
<references/>
* [[Lynn Steen|Lynn Arthur Steen]] and J. Arthur Seebach, Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]'' (1978) Springer-Verlag, New York
Riadok 96:
[[ja:コンパクト空間]]
[[ko:컴팩트 공간]]
[[nl:CompactCompacte ruimte]]
[[pl:Przestrzeń zwarta]]
[[pt:Espaço compacto]]
[[ro:SpaţiuSpațiu compact]]
[[ru:Компактное пространство]]
[[sr:Компакт]]