Primov algoritmus: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 696 bajtov ,  pred 11 rokmi
aktualizácia
d (wikilinky)
(aktualizácia)
== Dôkaz korektnosti algoritmu ==
Nech ''G'' je súvislý ohodnotený graf. V každej iterácii Primovho algoritmu je pridaná hrana, ktorá má jeden vrchol v podgrafe vytvárajúcom kostru a vrchol mimo tohto podgrafu. Pretože ''G'' je súvislý, existuje vždy cesta do každého vrcholu. Výstup ''Y'' Primovho algoritmu je strom, pretože vrchol a hrana, ktoré sú pridané do ''Y'' sú spojené. Nech ''Y1'' je minimálna kostra ''G''. Ak ''Y1=Y'', tak ''Y'' je minimálna kostra. Inak, nech ''e'' je prvá hrana pridaná počas konštrukcie ''Y'', ktorá nie je v ''Y1'', a ''V'' nech je množina vrcholov spojených hranami pridanými pred pridaním ''e''. Potom jeden koncový bod ''e'' je vo ''V'' a druhý nie je. Pretože ''Y1'' je kostra ''G'', existuje cesta v ''Y1'' spájajúca tieto dva koncové vrcholy. Keď prechádzame pozdĺž tejto cesty, musíme naraziť na hranu ''f'' spájajúcu vrchol vo ''V'' s vrcholom, ktorý nie je vo ''V''. Teraz, v iterácii, keď je pridávaná hrana ''e'' do ''Y'', ''f'' by mohla byť pridaná tiež a mohla by byť pridaná namiesto ''e'', ak by jej ohodnotenie bolo menšie ako ''e''. Pretože ''f'' nebola pridaná, ohodnotenie ''f'' nie je menšie ako ohodnotenie ''e''. Nech ''Y2'' je graf získaný z ''Y1'' odstránením ''f'' a pridaním ''e''. Je ľahké ukázať, že ''Y2'' je súvislý, má ten istý počet hrán ako ''Y1'' a celková váha jeho hrán nie je väčšia ako v ''Y1'', preto je to tiež minimálna kostra ''G'' a obsahuje ''e'' a všetky hrany pridané pred ''e'' počas konštrukcie ''V''. Opakovaním vyššie uvedených krokov vieme získať minimálnu kostru grafu ''G'', ktorá je identická s ''Y''. Toto dokazuje, že ''Y'' je minimálna kostra.
 
== Referencie ==
* V. Jarník: ''O jistém problému minimálním'', Práce Moravské Přírodovědecké Společnosti, 6, 1930, pp. 57-63.
* R. C. Prim: ''Shortest connection networks and some generalisations''. In: ''Bell System Technical Journal'', 36 (1957), pp. 1389–1401
* D. Cherition and [[Robert Tarjan|R. E. Tarjan]]: ''Finding minimum spanning trees''. In: ''SIAM Journal of Computing'', 5 (Dec. 1976), pp. 724–741
* [[Thomas H. Cormen]], [[Charles E. Leiserson]], [[Ronald L. Rivest]], and [[Clifford Stein]]. ''[[Introduction to Algorithms]]'', Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 23.2: The algorithms of Kruskal and Prim, pp.567–574.
 
 
 
47

úprav