Diferenciálna rovnica: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
d r2.7.1) (robot Pridal: oc:Equacion diferenciala
Vegbot (diskusia | príspevky)
d typo gram
Riadok 10:
Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:
* ''[[Obyčajná diferenciálna rovnica|obyčajné diferenciálne rovnice]]'' (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
* ''[[Parciálna diferenciálna rovnica|parciálne diferenciálne rovnice]]'' (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
* ''[[stochastická diferenciálna rovnica|stochastické diferenciálne rovnice]]'' (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
* ''[[Diferenciálna algebrická rovnica|diferenciálne algebrické rovnice]]'' (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.
 
== Rád diferenciálnej rovnice ==
Riadok 26:
<math>x'\left(t\right)+x\left(t\right)=0</math> <br />
kde pod <math>x'(t)</math> rozumieme deriváciu funkcie <math>x(t)</math>. Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu <math>x(t)</math>:<br />
<math>\begin{array}{rcl}\dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}+x(t)&=&0\\ \dfrac{\textrm{d}x(t)}{\textrm{d}t}&=&-x(t)\\ \dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}&=&-\textrm{d}t\end{array}</math><br />
 
Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:<br />
 
<math>\int\dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}=-\int\textrm{d}t</math><br />
 
'''Poznámka:''' ''Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov'':<br />
 
<math>\int\dfrac{\textrm{d}x(t)}{x(t)}=\ln(x(t))</math><br />
<math>-\int\textrm{d}t=-t+\ln|C|</math><br />
 
'''Poznámka:''' ''Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia'' <math>x(t)</math><br />
 
Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu <math>x(t)</math>:<br />
 
<math>\begin{array}{rcl}\ln(x(t))&=&-t+\ln |C|\\ \ln x(t)-\ln|C|&=&-t\\ \ln\dfrac{x(t)}{|C|}&=&-t\\ \textrm{e}^{-t}&=&\dfrac{x(t)}{|C|}\\ x(t)&=&|C|\cdot\textrm{e}^{-t}\end{array}</math><br />
Riadok 47:
Riešme diferenciálnu rovnicu <math>y'(x)=\frac{y(x)}{x}</math> bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že <math>y(x)</math> oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:
 
<math>\begin{array}{rcl}\dfrac{\textrm{d}y(x)}{\textrm{d}x}&=&\dfrac{y(x)}{x}\\ \dfrac{\textrm{d}y(x)}{y(x)}&=&\dfrac{\textrm{d}x}{x}\end{array}</math><br />
 
Premenné sú oddelené, môžeme integrovať <math>\int\limits\dfrac{\textrm{d}y(x)}{y(x)}=\int\dfrac{\textrm{d}x}{x}</math> a dostaneme rovnicu:<br />
 
<math>\begin{array}{rcl}\ln y(x)&=&\ln x+\ln |C|\\ \ln y(x)&=&\ln |C|\cdot x\\ y(x)&=&|C|\cdot x\end{array}</math>