Mohutnosť (množina): Rozdiel medzi revíziami
Smazaný obsah Přidaný obsah
stačí, že je to aj tak zle, ale nemôžeš dať názov definícia niečomu, čo definícia na prvý pohľad nie je |
d k |
||
Riadok 7:
''Poznámka: Vo filozofii sa hovorí o definícii abstrakciou: "Mohutnosť" je to, čo je spoločné množinám rovnakej mohutnosti. ([[Lev Bukovský]])''
== Platí ==▼
* Dve množiny A, B majú rovnakú mohutnosť (sú rovnako mohutné), ak sa dá zostrojiť [[prosté zobrazenie]] množiny A na množinu B. Píšeme |A|=|B|▼
* Množina A má mohutnosť menšiu alebo rovnakú ako množina B, ak existuje prosté zobrazenie f množiny A do množiny B. Píšeme |A|<=|B|.▼
* Množina A má mohutnosť menšiu ako B, ak |A|<=|B| a neplatí |A|=|B|.▼
* Pre konečné množiny je mohutnosť prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.▼
* Množina A je konečná, ak |A|<|N|. Prirodzené čísla sú mohutnosti konečných množín.▼
* Množina A sa nazýva [[spočítateľná množina]], ak |A|<=|N|. Množina, ktorá nie je spočítateľná sa nazýva [[nespočítateľná množina]].▼
* Mohutnosť množiny prirodzených čísel označujeme znakom <math>\aleph_0</math> ([[alef]]). ▼
* Množiny Z a Q sú spočítateľné množiny.▼
* Zjednotenie spočítateľného množstva spočítateľných množín je spočítateľná množina.▼
* Množina R je nespočítateľná množina. Mohutnosť |R| sa označuje '''c''' a nazýva sa mohutnosť [[kontinuum|kontinua]].▼
* <math>c> \aleph_0 </math>▼
== Aritmetické operácie nad mohutnosťami množín ==▼
▲==Platí==
=== Sčítanie ===▼
▲*Dve množiny A, B majú rovnakú mohutnosť (sú rovnako mohutné), ak sa dá zostrojiť [[prosté zobrazenie]] množiny A na množinu B. Píšeme |A|=|B|
▲*Množina A má mohutnosť menšiu alebo rovnakú ako množina B, ak existuje prosté zobrazenie f množiny A do množiny B. Píšeme |A|<=|B|.
▲*Množina A má mohutnosť menšiu ako B, ak |A|<=|B| a neplatí |A|=|B|.
▲*Pre konečné množiny je mohutnosť prirodzené číslo rovné počtu prvkov množiny.
▲*Množina A je konečná, ak |A|<|N|. Prirodzené čísla sú mohutnosti konečných množín.
▲*Množina A sa nazýva [[spočítateľná množina]], ak |A|<=|N|. Množina, ktorá nie je spočítateľná sa nazýva [[nespočítateľná množina]].
▲*Mohutnosť množiny prirodzených čísel označujeme znakom <math>\aleph_0</math> ([[alef]]).
▲*Množiny Z a Q sú spočítateľné množiny.
▲*Zjednotenie spočítateľného množstva spočítateľných množín je spočítateľná množina.
▲*Množina R je nespočítateľná množina. Mohutnosť |R| sa označuje '''c''' a nazýva sa mohutnosť [[kontinuum|kontinua]].
▲*<math>c> \aleph_0 </math>
▲==Aritmetické operácie nad mohutnosťami množín==
▲===Sčítanie===
Mohutnosť množiny C je súčet mohutností množín A, B, ak existujú také podmnožiny A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> množiny C, pre ktoré platí:<br> A<sub>1</sub> ∩ B<sub>1</sub>= 0, A<sub>1</sub> U B<sub>1</sub>=C a |A<sub>1</sub>|=|A|, |B<sub>1</sub>|=|B|. Označujeme |C|=|A|+|B|
=== Súčin ===
Mohutnosť množiny C je súčin mohutností množín A, B ak platí |C|=|A x B| a píšeme |C|=|A|.|B|
=== Umocňovanie ===
Mohutnosť množiny C je mohutnosť množiny A umocnená na mohutnosť množiny B, ak |C|=|<sup>B</sup>A|
== Paradoxy ==
* <math>\aleph_0</math> + <math>\aleph_0</math> = <math>\aleph_0 </math>
* Priamka je rovnako mohutná, ako rovina.
* Úsečka je rovnako mohutná, ako priamka.
[[Kategória:Matematika]]
| |||