Mnohouholník: Rozdiel medzi revíziami

Odobraných 76 bajtov ,  pred 8 rokmi
d
úrovne nadpisov, typografia
d (úrovne nadpisov, typografia)
* '''pravidelné''' (všetky strany a vnútorné uhly sú [[zhodnosť|zhodné]]) a '''nepravidelné'''.
* '''konvexné''' (všetky vnútorné uhly sú menšie ako 180°) a '''nekonvexné''' (aspoň jeden vnútorný uhol je väčší ako 180°)
* '''pravouholníky''' (všetky vnútorné uhly sú pravé, resp.alebo majú 270°) a '''nepravouholníky''' (aspoň jeden vnútorný uhol sa nerovná pravému uhlu).
 
== Vlastnosti ==
* [[Obvod]] mnohouholníka <math>o</math> se vypočíta ako [[súčet]] všetkých jeho strán: <math>o = a + b + c + ...</math>, kde <math>a, b, c, ...</math> sú jednotlivé strany mnohouholníka.
:<math>o = a + b + c + ...</math>, kde <math>a, b, c, ...</math> sú jednotlivé strany mnohouholníka.
 
* [[Obsah]] všeobecného mnohouholníka <math>S</math> sa vypočíta pomocou ''rozloženia'' mnohouholníka na ''vhodné'' vzájomne sa neprekrývajúce [[trojuholník]]y, [[obdĺžnik]]y alebo [[štvorec|štvorce]], ktorých obsahy <math>S_1, S_2, ...</math> sa vypočítajú podľa známych vzorcov a následne sa spočítajú: <math>S = S_1 + S_2 + ...</math>
:<math>S = S_1 + S_2 + ...</math>
 
* Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka je rovný <math>\pi (n-2) \;\mathrm{rad}</math>
:<math>\pi (n-2) \;\mathrm{rad}</math>
 
* Počet uhlopriečok všeobecného <math>n</math>-úholníka určíme zo vzťahu <math>\frac{1}{2}n(n-3)</math>
 
:<math>\frac{1}{2}n(n-3)</math>
* Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku [[opísaná kružnica|opísaná]]. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva ''tetivový'' (jeho strany sú [[tetiva (geometria)|tetivami]] opísanej kružnice).
 
* Ak existuje taká kružnica, že na nej ležia všetky vrcholy daného mnohouholníka, potom hovoríme, že je mnohouholníku [[opísaná kružnica|opísaná]]. Mnohouholník, ktorému je možné opísať kružnicu sa nazýva ''tetivový'' (jeho strany sú [[tetiva (geometria)|tetivami]] opísanej kružnice).
== Vlastnosti pravidelného mnohouholníka ==
* Veľkosť vnútorného uhla pravidelného <math>n</math>-uholníka má hodnotu <math>\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi</math>
 
* Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná <math>\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}</math>
 
* Pravidelnému mnohouholníku je možné [[opísaná kružnica|opísať]] a zároveň [[vpísaná kružnica|vpísať]] kružnicu. Stredy oboch [[kružnica|kružníc]] ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.
 
* Ak označíme dĺžku strany pravidelného <math>n</math>-uholníka ako <math>a_n</math> a polomer [[opísaná kružnica|opísanej kružnice]] ako <math>r_n</math>, potom [[polomer]] <math>\rho_n</math> [[vpísaná kružnica|vpísanej kružnice]] je možné určiť zo vzťahu <math>\rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}</math>
 
[[Súbor:N uholnik.jpg|náhľad|vpravo|Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník]] Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka:
 
==== Vpísaný n-uholník ====
Pre vpísaný polygón platí: <br />
 
v=|KW|<br />
 
r=|KV|<br />
 
:<math>S_n=\frac{n r^2\operatorname{sin}{\alpha}}{2}</math><br />
* Veľkosť vnútorného uhla pravidelného <math>n</math>-uholníka má hodnotu
:<math>\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi</math>
 
==== Opísaný n-uholník ====
* Veľkosť stredového, resp. vonkajšieho uhla je rovná
Pre opísaný polygón platí:<br />
:<math>\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}</math>
 
R=|KL|<br />
* Pravidelnému mnohouholníku je možné [[opísaná kružnica|opísať]] a zároveň [[vpísaná kružnica|vpísať]] kružnicu. Stredy oboch [[kružnica|kružníc]] ležia v rovnakom bode, ktorý je totožný s ťažiskom mnohouholníka.
 
r=|KV|<br />
* Ak označíme dĺžku strany pravidelného <math>n</math>-uholníka ako <math>a_n</math> a polomer [[opísaná kružnica|opísanej kružnice]] ako <math>r_n</math>, potom [[polomer]] <math>\rho_n</math> [[vpísaná kružnica|vpísanej kružnice]] je možné určiť zo vzťahu
:<math>\rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}</math>
[[Súbor:N uholnik.jpg|náhľad|vpravo|Vpísaný a opísaný pravidelný n-uholník]]
* Z obrázka vidno, že existujú dva druhy n-uholníka: <br />
 
:<math>S_N=n R^2\operatorname{tan}{\frac{\alpha}{2}}</math>
==== Vpísaný n-uholník ====
Pre vpísaný polygón platí: <br />
v=|KW|<br />
r=|KV|<br />
:<math>S_n=\frac{n r^2\operatorname{sin}{\alpha}}{2}</math><br />
==== Opísaný n-uholník ====
Pre opísaný polygón platí:<br />
R=|KL|<br />
r=|KV|<br />
:<math>S_N=n R^2\operatorname{tan}{\frac{\alpha}{2}}</math>
 
== Pozri aj ==
1 943

úprav