Zložené úročenie: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
d zmazať lebo
základná úprava
Riadok 1:
{{ZL|14 dmí uplynulo}}
{{urgentne upraviť|20141022}}
{{DFG}}
"Ak'''Zložené saúrokovanie''' naje koncispôsob úrokovaciehopripočítavania obdobiaúrokov úrokyk pripočítajúistine, kkedy pôvodnejsa sumevypočítaný (istine)úrok pripočíta na konci úrokovacieho obdobia a v ďalšom období sa úrok vypočíta z tejto navýšenej sumy, hovoríme o '''zloženom úrokovaní'''".<ref>Kubáček Z., Matematika pre druhý ročník gymnázií, prvá časť. 1. vyd. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2009. ISBN 978-80-7158-983-9</ref>.
== Zložené úrokovanie ==
"Ak sa na konci úrokovacieho obdobia úroky pripočítajú k pôvodnej sume (istine) a v ďalšom období sa úrok vypočíta z tejto navýšenej sumy, hovoríme o '''zloženom úrokovaní'''"<ref>Kubáček Z., Matematika pre druhý ročník gymnázií, prvá časť. 1. vyd. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2009. ISBN 978-80-7158-983-9</ref>.
 
== Teminológia ==
=== Teoretický úvod do problematiky ===
"Ak[[Dlžník]]om získamesa odstávame banky pôžičkuvtedy, bankaak bude naším veriteľomod [[veriteľ]]a my dlžníkmi(napr. banky.) Naopak,získame akpôžičku. doV bankypozícii peniazeveriteľa vložíme,voči stanebanke sa bankastávame vlastnevtedy, našímak dlžníkomdo anej myvložíme veriteľmisvoj bankykapitál. Cenu, ktorú dlžník zaplatí veriteľovi za požičanie peňazí, vyjadruje '''[[úrok''']]. Ten sa určuje ako počet percent ('''[[úroková miera''']]) z požičanej sumy za určenú dobu ('''[[úrokové obdobie''']])"<ref>Kubáček Z., Matematika pre druhý ročník gymnázií, prvá časť. 1. vyd. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2009. ISBN 978-80-7158-983-9</ref>. Ak splatíme pôžičku alebo vyberieme z banky vložené peniaze vrátane úroku na konci úrokového obdobia, hovoríme o jednoduchom úrokovaní.
Prv než si odvodíme vzorce pre výpočty v zloženom úrokovaní, uveďme si krátku definíciu, ktorá nám zhrnie základné pojmy, ktoré budeme používať.
"Ak získame od banky pôžičku, banka bude naším veriteľom a my dlžníkmi banky. Naopak, ak do banky peniaze vložíme, stane sa banka vlastne naším dlžníkom a my veriteľmi banky. Cenu, ktorú dlžník zaplatí veriteľovi za požičanie peňazí vyjadruje '''úrok'''. Ten sa určuje ako počet percent ('''úroková miera''') z požičanej sumy za určenú dobu ('''úrokové obdobie''')"<ref>Kubáček Z., Matematika pre druhý ročník gymnázií, prvá časť. 1. vyd. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana, 2009. ISBN 978-80-7158-983-9</ref>.
 
=== Používané názvoslovie ===
Ak splatíme pôžičku alebo vyberieme z banky vložené peniaze vrátane úroku na konci úrokového obdobia, hovoríme o '''jednoduchom úrokovaní'''. Čo sa však stane, ak splácame splátku dlhšie, prípadne necháme naše peniaze na ďalšie úrokové obdobie v banke? Nastáva situácia, ktorú opisuje vyššie spomenutá definícia.
* '''u = úrok''' =je suma o ktorú sa navýši istina
* '''p = úroková miera''' = vyjadruje počet percent z istiny za úrokové obdobie
* '''S = výsledná suma''', ktorú dostaneme po úročení'''
* '''S<sub>0</sub> = istina''', =teda počiatočná suma, ktorú si požičiavame (vkladáme)
* '''n = počet úrokových období'''
* úrokové obdobia:
-** p. a. = per annum = ročné
-** p. s. = per semestre = polročné
-** p. q. = per quartale = štvrťročné
-** p. m. = per mensem = mesačné
-** p. sept. = per septimanam = týždenné
-** p. d. = per diem = denné
 
=== ZavedenieVýpočet značiekvýšky zúročenia ===
Príklady úročenia vkladu pri ''n'' rokoch sporenia:
základné pojmy, ktoré sme si zadefinovali v úvode, teraz označíme:
# ''1) Na začiatku vložíme vklad a ten vždy na konci úrokového obdobia navýšime o úrok:''. Keď vieme, že úrok sa počítal ako percentuálny podiel istiny podľa vzorca: u = S<sub>0</sub>.(p/100%), a že suma na konci úrokového obdobia sa rovnala S = S<sub>0</sub> + u = S<sub>0</sub> + S<sub>0</sub>.(p/100%) = S<sub>0</sub>.(1 + (p/100%)). Na konci ďalšieho úrokového obdobia by sme dostali zúročenú sumu na konci prvého úrokového obdobia, teda S = S<sub>0</sub>.(1 + (p/100%)).(1 + (p/100%)) = S<sub>0</sub>.(1 + (p/100%))<sup>2</sup>. Ak to teda zovšeobecníme na n úrokových období, dostaneme vzorec '''<math>S=S_0 \cdot (1+ \frac{p}{100%})^n</math>'''
<br />
# ''2) Na začiatku každého úrokového obdobia vložíme rovnaký vklad:''. Pre jednoduchosť predpokladajme, že budeme vkladať 1000€ ročne pri ročnej úrokovej miere 5%. Na konci prvého roku mám 1000.(1 + 0,05). Na začiatku druhého roku sa k tejto sume pripočíta ďalší vklad 1000€, to dáva 1000 + 1000.(1 + 0,05). Na konci druhého roku sa nám znova zúročí celá suma, ktorú máme, teda budeme mať: (1000 + 1000.(1 + 0,05)).(1 + 0,05). ATento takspôsob ďalej. Pozorný čitateľ si určite všimol, že sa to náramne podobá napredstavuje súčet členov [[https://sk.wikipedia.org/wiki/Geometrická_postupnosťGeometrická postupnosť|geometrickej postupnosti]], ačo tedavyjadruje aj vzorec na výpočet sumy, ktorú budeme mať na účte po n úrokových obdobiach bude vyzerať takto: <math>S=S_0 \cdot q \frac{q^n -1}{q-1}</math> ak <math>q=(1+ \frac{p}{100%})</math>
'''u = úrok''' = suma o ktorú sa navýši istina
<br />
'''p = úroková miera''' = vyjadruje počet percent z istiny za úrokové obdobie
najčastejšie sa používajú tieto úrokové obdobia:
- p. a. = per annum = ročné
- p. s. = per semestre = polročné
- p. q. = per quartale = štvrťročné
- p. m. = per mensem = mesačné
- p. sept. = per septimanam = týždenné
- p. d. = per diem = denné
<br />
'''S = suma, ktorú dostaneme po úročení'''
<br />
'''S<sub>0</sub> = istina''' = počiatočná suma, ktorú si požičiavame (vkladáme)
<br />
'''n = počet úrokových období'''
 
=== VzorcePozri aj ===
* [[Úrok]]
V nasledujúcich situáciách uvažujme o úročení vkladu a chceme zistiť, koľko peňazí bude na účte po n rokoch sporenia.
* [[Úver]]
<br />
* [[Časová hodnota peňazí]]
''1) Na začiatku vložíme vklad a ten vždy na konci úrokového obdobia navýšime o úrok''. Keď vieme, že úrok sa počítal ako percentuálny podiel istiny podľa vzorca: u = S<sub>0</sub>.(p/100%), a že suma na konci úrokového obdobia sa rovnala S = S<sub>0</sub> + u = S<sub>0</sub> + S<sub>0</sub>.(p/100%) = S<sub>0</sub>.(1 + (p/100%)). Na konci ďalšieho úrokového obdobia by sme dostali zúročenú sumu na konci prvého úrokového obdobia, teda S = S<sub>0</sub>.(1 + (p/100%)).(1 + (p/100%)) = S<sub>0</sub>.(1 + (p/100%))<sup>2</sup>. Ak to teda zovšeobecníme na n úrokových období, dostaneme vzorec '''<math>S=S_0 \cdot (1+ \frac{p}{100%})^n</math>'''
 
<br />
== Referencie ==
''2) Na začiatku každého úrokového obdobia vložíme rovnaký vklad''. Pre jednoduchosť predpokladajme, že budeme vkladať 1000€ ročne pri ročnej úrokovej miere 5%. Na konci prvého roku mám 1000.(1 + 0,05). Na začiatku druhého roku sa k tejto sume pripočíta ďalší vklad 1000€, to dáva 1000 + 1000.(1 + 0,05). Na konci druhého roku sa nám znova zúročí celá suma, ktorú máme, teda budeme mať: (1000 + 1000.(1 + 0,05)).(1 + 0,05). A tak ďalej. Pozorný čitateľ si určite všimol, že sa to náramne podobá na súčet členov [[https://sk.wikipedia.org/wiki/Geometrická_postupnosť geometrickej postupnosti]] a teda vzorec na výpočet sumy, ktorú budeme mať na účte po n úrokových obdobiach bude vyzerať takto: <math>S=S_0 \cdot q \frac{q^n -1}{q-1}</math> ak <math>q=(1+ \frac{p}{100%})</math>
{{Referencie}}
 
[[Kategória:Úrok]]
[[Kategória:Financie]]