Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami

Odobraných 214 bajtov ,  pred 6 rokmi
chýba zhrnutie úprav
d (Bot: Odstránenie 24 odkazov interwiki, ktoré sú teraz dostupné na Wikiúdajoch (d:q565186))
V matematike, '''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''') je, v matematike, [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]].
 
Hausdorffova miera (ďalej označena <math>\bold{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\bold{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí<br /><br />
<math>0<H^s(A)<\infty</math>
<br /><br />
, i keď <math>\bold{A}</math> je veľmi komplikovaná. <math>\bold{H}^s</math> je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
 
Hausdorffova miera (ďalej označenaoznačená <math>\bold{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovolujedovoľuje merať isté "veľmi„veľmi malé"malé“ podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\bold{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí<br /><br />
<math>0<H^s(A)<\infty</math>, i keď <math>\bold{A}</math> je veľmi komplikovaná. <math>\bold{H}^s</math> je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
 
== Definícia Hausdorffovej miery ==
'''Definícia''': Nech <math>\bold{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty</math> definujeme<br /><br />:
<br />
'''Definícia''': Nech <math>\bold{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s<\infty, 0<\delta\leq\infty</math> definujeme<br /><br />
 
<math>(i)\bold{H}^s_\delta(A)=\inf\{\sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)(\frac{diam(C_i)}{2})^s | A\subset{\cup^\infty_{j=1}C_j}, diam(C_j)\leq\delta\},</math><br /><br />
 
kde<br /><br />
kde
<math>\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math><br /><br />
 
túto<br /><br />
<math>\Gammaalpha(rs)=\int_0^frac{\infty epi^{-x\frac{s}x^{r-12}dx,}}{\Gamma(0<r<\inftyfrac{s}{2}+1),}</math><br /><br />
 
je obyčajná gamma funkcia.<br /><br />
túto
<math>\bold(ii)</math>Pro <math>\bold{A}</math> a <math>\bold{s}</math> s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:<br /><br />
 
<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math><br /><br />
<math>\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty),</math>
<math>\bold{H}^s</math> nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>.<br /><br />
 
je obyčajná gamma funkcia.<br /><br />
 
<math>\bold(ii)</math>Pro <math>\bold{A}</math> a <math>\bold{s}</math> s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:<br /><br />
 
<math>H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)</math><br /><br />
<math>\bold{H}^s</math> nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>.<br /><br />
 
== Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie ==
<math>\bold{H}^s</math> je Borelova regulárna miera pre <math>0\leq s<\infty</math>, niejenie je ale Radonova miera.<br />
<br />
 
<math>\bold{H}^s</math> je Borelova regulárna miera pre <math>0\leq s<\infty</math>, nieje ale Radonova miera.<br />
Z toho vyplýva toto:<br /><br />
 
<math>(i)\bold{H}^s_\delta</math> je miera.<br />
<math>(iii)\bold{H}^ss_\delta</math> je miera.<br />
 
<math>(iii)\bold{H}^s</math> je Borelova miera.<br /><br />
<math>(iii)\bold{H}^s_\deltas</math> je miera.<br />
Dalšie zaujímavé vlastnosti:<br /><br />
 
<math>(i)\bold{H}^0</math> je čítacia miera.<br />
<math>(iiiii)\bold{H}^1=\bold{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\bold{L}^1s</math> je LebesgueovaBorelova miera.<br />
 
<math>(iii)\bold{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\bold{s>n}</math>.<br />
DalšieĎalšie zaujímavé vlastnosti:<br /><br />
<math>(iv)\bold{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \bold{H}^s(A)</math> pre všetky <math>\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n</math>.<br />
 
<math>(v)\bold{H}^s(L(A))=\bold{H}^s(A)</math> pre všetky afinní izometrie <math>L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n</math>.
<math>(iiii)\bold{H}^s0</math> je Borelovačítacia miera.<br /><br />
 
<math>(ii)\bold{H}^1=\bold{L}^1</math> na <math>\mathbb{R}^n</math>, kde <math>\bold{L}^1</math> je Lebesgueova miera.
 
<math>(iii)\bold{H}^s=0</math> na <math>\mathbb{R}^n</math> pre všetky <math>\bold{s>n}</math>.<br />
 
<math>(iv)\bold{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \bold{H}^s(A)</math> pre všetky <math>\lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n</math>.<br />
 
<math>(v)\bold{H}^s(L(A))=\bold{H}^s(A)</math> pre všetky afinníafinné izometrie <math>L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n</math>.
 
== Literatúra ==
56 540

úprav