Matematika: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
d Verzia používateľa 87.197.79.81 (diskusia) bola vrátená, bola obnovená verzia od Wizzard
u
Značka: vyprázdnenie
Riadok 1:
{{Substovaný infobox}}
{|style="float:right; margin: 0 0 1em 1em; width:200px; border: 1px solid black;"
|[[Súbor:Tetrahedron.jpg|100px]]
|[[Súbor:Octahedron.jpg|100px]]
|-
|[[Súbor:Dodecahedron.jpg|100px]]
|[[Súbor:Icosahedron.jpg|100px]]
|-
! colspan="2" style="text-align:left; font-weight:normal;" | Niektoré [[platónske teleso|platónske telesá]] tak ako ich poznala už [[starovek]]á [[geometria]].
|}
 
'''Matematika''' (z [[grécke jazyky|gr.]] μαθηματικός (''mathematikós'')= „milujúci poznanie“ > μάθημα (''máthema'') = „veda, poznanie“) je väčšinou definovaná ako štúdium zákonitostí [[štruktúra (matematika)|štruktúry]], zmeny a [[priestor (geometria)|priestoru]]. Neformálne ju môžeme tiež nazvať štúdiom „[[diagram (znázornenie)|diagramov]] a [[číslo (matematika)|čísel]]“. Z formálneho hľadiska je matematika skúmanie axiomaticky definovaných formálnych štruktúr použitím [[logika|logiky]] a matematického označenia. Matematiku možno chápať jednoducho ako rozšírenie hovoreného a písaného jazyka s veľmi presne definovanou slovnou zásobou a [[Gramatika (informatika)|gramatikou]], s cieľom opisovať a skúmať fyzikálne a konceptuálne vzťahy.
 
Hoci matematika samotná sa väčšinou nepovažuje za [[prírodná veda|prírodnú vedu]], špecifické štruktúry skúmané [[matematik]]mi majú často pôvod v [[prírodné vedy|prírodných vedách]], najmä vo [[fyzika|fyzike]]. Matematici sa však zaoberajú aj štruktúrami, ktorých pôvod nie je čisto matematický, napríklad ak poskytujú zovšeobecnenie spájajúce niekoľko odborov alebo zjednodušujú výpočty. Mnohí matematici sa zaoberajú určitými [[problém]]ami z čisto [[estetika|estetických]] dôvodov, chápajúc matematiku skôr ako [[umenie]] než [[praktická veda|praktickú]], alebo [[aplikovaná veda|aplikovanú]] [[veda|vedu]]. Niektorí matematici nazývajú matematiku „kráľovnou [[veda|vied]]“.
 
== Prehľad a história matematiky ==
Hlavné odvetvia matematiky vznikli z potreby robiť výpočty pre účely [[obchodná činnosť|obchodu]], merať pozemky a predpovedať [[astronómia|astronomické]] udalosti. Tieto tri potreby približne zodpovedajú rozdeleniu matematiky na štúdium [[štruktúra (matematika)|štruktúry]], [[priestor (geometria)|priestoru]] a zmeny.
 
Štúdium štruktúry začína pojmom [[číslo (matematika)|čísla]]. Najskôr boli známe [[prirodzené číslo|prirodzené]] a [[celé číslo|celé čísla]] a ich [[aritmetická operácia|aritmetické operácie]], ktoré sú zahrnuté v elementárnej [[pole (algebra)|algebre]]. Zložitejšie vlastnosti [[celé číslo|celých čísel]] skúma [[teória čísel]]. Skúmanie [[metóda|metód]] na riešenie [[rovnica (matematika)|rovníc]] viedlo k vzniku [[Abstraktná algebra|abstraktnej algebry]], ktorá okrem iného skúma štruktúry ako [[okruh (algebra)|okruhy]] a [[pole|polia]], ktoré zovšeobecňujú vlastnosti dobre známych [[aritmetická operácia|aritmetických operácií]] na [[číslo (matematika)|číslach]]. [[Vektor (matematika)|Vektor]] je pojem dôležitý vo [[fyzika|fyzike]]. [[Lineárna algebra]], ktorá študuje [[Vektor (matematika)|vektory]] a ich zovšeobecnenie, [[vektorový priestor|vektorové priestory]], sa nachádza na priesečníku štúdia štruktúry a priestoru.
 
Štúdium [[priestor (geometria)|priestoru]] vychádza z [[geometria|geometrie]]. Najskôr sa rozvíjala [[euklidovská geometria]] a [[trigonometria]] dobre známeho [[trojrozmerný priestor|trojrozmerného priestoru]]. Neskôr bola [[euklidovská geometria]] zovšeobecnená na neeuklidovské [[geometria|geometrie]], ktoré majú dôležitú úlohu v všeobecnej [[teória relativity|teórii relativity]]. Niekoľko ťažkých geometrických [[problém]]ov týkajúcich sa konštrukcií pomocou [[pravítko|pravítka]] a [[kružidlo|kružidla]] bolo vyriešených pomocou [[Galoisova teória|Galoisovej teórie]]. Moderné odvetvia [[diferenciálna geometria|diferenciálnej]] a [[algebrická geometria|algebrickej]] [[geometria|geometrie]] rozširujú [[geometria|geometriu]] v nových smeroch. [[Diferenciálna geometria]] sa sústredí na pojmy [[zobrazenie (matematika)|funkcie]], [[derivácia (funkcia)|derivácie]] a smeru, kým [[algebrická geometria]] definuje geometrické objekty ako množiny riešení [[polynomiálna rovnica|polynomiálnych]] [[rovnica (matematika)|rovníc]]. [[Teória grúp]] skúma pojem [[symetria|symetrie]], spája štúdium priestoru a štruktúry. [[Topológia]] spája štúdium priestoru a zmeny s dôrazom na koncept [[kontinuita|kontinuity]].
 
[[Prírodná veda|Prírodné vedy]] často skúmajú zmenu merateľných veličín a [[matematická analýza]] na to poskytuje užitočné nástroje. Základným pojmom používaným na popísanie zmeny je pojem [[funkcia|funkcie]]. Mnohé problémy sa dajú vyjadriť ako vzťah medzi veličinou a [[rýchlosť (fyzikálna veličina)|rýchlosťou]] jej zmeny. [[metóda|Metódy]] na riešenie takýchto vzťahov skúma odbor [[diferenciálna rovnica|diferenciálnych rovníc]]. [[Spojitá veličina|Spojité veličiny]] sú reprezentované [[reálne číslo|reálnymi]] [[číslo (matematika)|číslami]]. Vlastnosti [[reálne číslo|reálnych]] [[číslo (matematika)|čísel]] a [[funkcia|funkcií]] nad [[reálne číslo|reálnymi číslami]] skúma [[reálna analýza]]. Z viacerých príčin sa často hodí pracovať s [[komplexné číslo|komplexnými číslami]], ktoré študuje [[komplexná analýza]].
[[Funkcionálna analýza]] sa zaoberá priestormi [[funkcia|funkcií]], ktoré majú väčšinou nekonečne veľa [[rozmer]]ov. Toto štúdium poskytuje okrem iného matematický základ [[kvantová mechanika|kvantovej mechaniky]]. [[Teória chaosu]] vznikla z dôvodu, že mnohé z [[prírodný jav|prírodných javov]] tvoria dynamické [[systém]]y, ktoré majú nepredpovedateľné ale [[deterministické správanie]].
 
[[Teória množín]], [[matematická logika]] a [[teória modelov]] vznikli s cieľom skúmať základy matematiky.
 
Keď vznikla myšlienka [[počítač]]ov, matematici zaviedli niekoľko dôležitých teoretických pojmov, ktoré viedli k vzniku odborov ako [[teória vypočítateľnosti]], [[teória výpočtovej zložitosti]], [[teória informácie]] a [[algoritmická teória informácie]]. Tieto odbory sú dnes časťou teoretickej [[informatika|informatiky]]. [[Diskrétna matematika]] je spoločné meno pre odbory matematiky obzvlášť užitočné v informatike.
 
Dôležitým odborom [[aplikovaná matematika|aplikovanej matematiky]] je [[štatistika]], ktorá používa [[teória pravdepodobnosti|teóriu pravdepodobnosti]] ako nástroj na opis, analýzu a predpoveď javov a používa sa vo všetkých vedách. [[Numerická analýza]] skúma metódy na efektívne riešenie rôznych matematických problémov na [[počítač]]och a [[zaokrúhľovacia chyba|zaokrúhľovacie chyby]], ktoré pri [[numerické riešenie|numerickom riešení]] vznikajú.
 
=== Matematické disciplíny ===
Tu uvedený zoznam matematických disciplín vonkoncom nemožno považovať za úplný. Záujemcov o naozaj hlboký pohľad do členenia matematických disciplín a ich poddisciplín možno odkázať na AMS Mathematics Subject Classification<ref>[http://www.ams.org/msc/ 2010 Mathematics Subject Classification]</ref>, čo je hierarchia matematických disciplín udržiavaná a aktualizovaná [[American Mathematical Society|Americkou matematickou spoločnosťou]].
 
* [[Algebra]]
* [[Aritmetika]]
* [[Aplikovaná matematika]]
** [[Poistná matematika]]
** [[Ekonomická a finančná matematika]]
** [[Numerická matematika]]
** [[Pravdepodobnosť]]
** [[Matematická štatistika]]
** [[Teória hier]]
* [[Diskrétna matematika]]
** [[Diskrétna pravdepodobnosť]]
** [[Kombinatorika]] (kombinatorická analýza)
*** [[Konečný kalkul]]
*** [[Teória diferenčných rovníc]]
** [[Matematická logika]]
** [[Teória automatov]]
** [[Teória čísel]]
** [[Teória funkcionálnych systémov]]
** [[Teória grafov]] a sietí
** [[Teória kódovania]]
** [[Teória vypočítateľnosti]]
** [[Teória zložitosti]]
* [[Matematická analýza]]
** [[Reálna matematická analýza]]
** [[Komplexná matematická analýza]]
** [[Teória diferenciálnych rovníc]]
** [[Teória dynamických systémov]]
** [[Teória chaosu]]
** [[Teória miery]]
* [[Teória množín]]
* [[Teória priestoru]]
** [[Geometria]]
*** [[Analytická geometria]]
*** [[Algebrická geometria]]
*** [[Deskriptívna geometria]]
*** [[Diferenciálna geometria]]
** [[Topológia]]
*** [[Algebrická topológia]]
*** [[Diferenciálna topológia]]
** [[Trigonometria]]
* [[Operačná analýza]]
 
== Názory filozofov na matematiku ==
=== Aristoteles ===
Matematika je podľa [[Aristoteles|Aristotela]] [[veda]], ktorá predpokladá kategórie [[jedno|jedného]] a [[mnoho|mnohého]].
 
=== Cassirer ===
Matematika podľa [[Ernst Cassirer|Cassirera]] sa má zaoberať len a výlučne vystihovaním a predstavovaním funkcií vzťahov a závislostí. Matematika nie je vedou týkajúcou sa kvantity.
 
=== Descartes ===
[[Descartes]] mal na matematiku takýto názor: ''Dlhé reťaze výpočtov celkom jednoduché a ľahké, ktoré geometri obyčajne používajú k svojim najťažším demonštráciám, mi vnukli myšlienku, že všetky veci ľuďmi poznateľné idú za sebou v rovnakom poradí a že niet takých vecí, ku ktorým by sa napokon nedospelo, ani takých skrytých, ktoré by sa neodhalili, ak, pravda, neprijmeme klamnú vec za pravdivú a vždy zachovávame patričné poradie, aby sme mohli odvodiť jednu z druhej.''
=== Novoveká filozofia ===
[[Novoveká filozofia]] má na matematiku takýto názor: ''Klasická filozofia predstavovala matematiku ako vzor metodického myslenia, chápala ju ako sféru evidentných, jasných a zreteľných ideí. Práve tak sa za jasné a prehľadné považujú súvislosti medzi východiskovými princípmi (axiómami) a vetami odvodenými z týchto východísk pomocou jasne a zreteľne stanovených pravidiel.''
=== Filozofia ===
Podľa [[filozofia|filozofie]] je rozhodujúcou vetou o podstate matematiky z filozofického hľadiska [[Gödelova veta o neúplnosti]].
 
=== Frege ===
[[Gottlob Frege|Frege]] mal na matematiku takéto názory: Aritmetická pravda nie je syntetická, ale analytická v zmysle zákonov logiky natoľko elementárnych, že ich nemožno poprieť bez protirečení. Frege bol vlastne "platonikom"; veril vo sféru matematickej pravdy, nezávislej od ľudskej schopnosti získavať o nej poznanie. Napriek tomu z jeho myšlienok sa zanedlho utvorila matematická veda, nie však ako objavovanie ríše nadčasových entít, ani ako prvoradý príklad syntetického apriórneho poznania, ale ako prienik do logického priestoru nášho vlastného sklonu ku koherentnému mysleniu. Čo sa javí ako nezávislá sféra matematických entít alebo matematickej pravdy, to je jednoducho tieňová reprezentácia našich vlastných intelektuálnych schopností. Číslo jedna nie je o nič viac entitou
ako priemerný človek a zákony matematiky nie sú o nič väčšmi pravdami o nezávislom svete ako výrok, že "všetci starí mládenci sú neženatí". Ak matematickú pravdu poznáme a priori, tak preto, že sme sami tú pravdu konštruovali. (Toto vysvetlenie apriórneho poznania je staré a pochádza od stredovekých nominalistov, ktorým chýbali prostriedky, aby mohli určiť, či sa dá aplikovať na matematiku.) Frege prvý rozvinul [[logika|logiku]], v ktorej by sa dala posúdiť a dokázať teória aritmetiky
Podľa Fregeho [[Kant]]ova teória matematiky, teda že každá matematická pravda je syntetická a priori, je omyl. Tento omyl sa dá dokázať, ak sa prijme logika bez aristotelovských predpokladov, ktoré hypnotizovali Kanta.
 
=== Mill a Frege ===
Pre Milla sú naše idey čísiel odvodené zo skúsenosti. Číslo tri je nám dobre známe z vnímania trojitosti, štyri z vnímania štvoritosti a tak ďalej. Na matematické pravdy samy, ako napríklad 2+3=5, možno hľadieť aj tak, že odrážajú najzákladnejšie zákony prírody, čo sa odpozorovalo ako niečo, čo
dominuje zoskupeniam, na ktoré sa vyťahuje. Frege vo svojich Základoch aritmetiky ([[1884]]) tvrdil, že tento výklad podstaty čísiel nemožno prijať |K1|takisto ako iný výklad o nich. Mill nám nielenže nedáva kľúč k pochopeniu nuly, ale hranice nášho matematického poznania vymedzuje aj ako hranice našej skúsenosti. Ale kto skutočne chce potvrdiť fakt, ktorý je podľa Milla obsiahnutý v definícii osemnásťmiestneho čísla, že sa vôbec kedy stalo predmetom pozorovania, a kto chce poprieť, že napriek tomu má symbol takéhoto čísla zmysel? Keď Mill tvrdí, že zákony aritmetiky sú induktívne zovšeobecnenia, pletie si používanie matematiky s matematikou samou. Matematika je zrozumiteľná nezávisle od svojho používania. Frege napokon vyzdvihuje, že indukcia sa musí zakladať na teórii pravdepodobnosti, lebo nikdy nemôže postihnúť výrok väčšmi ako pravdepodobne. Nedá sa však pochopiť,
ako by sa teória pravdepodobnosti dala rozvinúť bez predpokladu zákonov aritmetiky. Na Milla reaguje aj Husserl.
 
=== Tarski ===
Matematika podľa [[Alfred Tarski|Alfreda Tarskeho]] je [[vedecká teória]], ktorej tvrdenia (teorémy, vety) vyplývajú jedno z druhého v určitom poradí podľa istých princípov a sú spravidla sprevádzané dôkazmi. Medzi termínmi a symbolmi vyskytujúcimi sa v matematických teorémach a dôkazoch rozlišujeme konštanty a premenné. Každý z týchto termínov má presne vymedzený význam, ktorý v priebehu úvah zostáva nemenný. Ako premenné sa spravidla používajú jednotlivé písmená. Na rozdiel od konštánt nemajú samé osebe nejaký význam. Také výrazy, ktoré obsahujú premenné a stanú sa výrokmi, keď tieto premenné nahradíme konštantami, sa nazývajú výrokové funkcie. Výrokové funkcie a výroky, ktoré sa skladajú výlučne z matematických symbolov (a nie zo slov bežného jazyka), matematici označujú ako formuly. Matematika ďalej obsahuje označovacie alebo deskriptívne funkcie, ktoré sú výrazmi meniacimi sa po nahradení premenných konštantami na označenie (''opis'') vecí. Medzi deskriptívne funkcie patria všetky tzv. algebrické výrazy, ktoré sa skladajú z premenných, numerických konštánt a symbolov štyroch základných aritmetických operácií. Algebrické funkcie, t. j. formuly skladajúce sa z dvoch algebrických výrazov spojených symbolom ''='', sú výrokové funkcie. Premenné, ktoré sa vyskytujú v rovniciach, sa hovorieva ako o neznámych, a o číslach, ktoré spĺňajú rovnicu, ako o koreňoch rovnice. Najdôležitejšie teorémy matematiky sú formulované ako všeobecné výroky alebo výroky všeobecného charakteru, ktoré tvrdia, že akákoľvek vec určitej kategórie (napr. v prípade aritmetiky ľubovoľné číslo) má takú a takú vlastnosť. Vo formulácii všeobecných výrokov sa používa obrat ''pre akékoľvek veci (alebo čísla) x, y,...''; tento obrat sa však často vypúšťa a musíme si ho myšlienkovo doplniť. V matematike sa vyskytujú aj existenčné výroky alebo výroky existenčného charakteru, ktoré konštatujú existenciu vecí (napr. čísel), ktoré majú určitú vlastnosť. Vo formulácii existenčných výrokov sa používa obrat ''existujú čísla x a y také, že…'', alebo pre niektoré čísla x a y,...''.
V matematike sa ďalej vyskytujú výroky, ktoré neobsahujú nijakú premennú; tieto sa označujú ako singulárne výroky alebo jedinečné výroky. V matematike ďalej existujú podmienené existenčné výroky alebo absolútne existenčné výroky, ktoré konštatujú, že čísla majúce určitú vlastnosť existujú, ale za podmienky, že existujú niektoré iné čísla. Premenná sa delia voľné premenné a viazané premenné.
Zavedeniu premenných vďačíme za rozvoj metódy takej plodnej pre riešenie matematických problémov, akou je metóda rovníc. Vynález premenných znamenal bod obratu v dejinách matematiky; týmito symbolmi získal človek nástroj, ktorý pripravoval cestu obrovskému rozvoju matematickej vedy a upevneniu jej logických základov. Veda o matematike sa nazýva [[metamatematika]].
 
== Referencie ==
{{portál|Matematika|Matematický}}
{{Referencie}}
 
== Iné projekty ==
{{Projekt|q=Matematika|commonscat=Mathematics}}
 
== Externé odkazy ==
* {{filit|fvm/matematika_aristoteles.html}}
* {{filit|fvm/matematika_cassirer_e.html}}
* {{filit|fvm/matematika_descartes_r-e.html}}
* {{filit|fvm/matematika_filozofia_novoveka-e.html}}
* {{filit|fvm/matematika_filozofia-e.html}}
* {{filit|fvm/matematika_frege_g-ei.html}}
* {{filit|fvm/matematika_kant_i_frege_g-e.html}}
* {{filit|fvm/matematika_mill_j_s_frege_g-ei.html}}
* {{filit|fvm/matematika_tarski_a.html}}
 
{{prírodné vedy}}
 
[[Kategória:Matematika| ]]