Verzia z 19:22, 3. jún 2012 upraviť Amonet (diskusia \| príspevky) 21 063 editací d d ← Predchádzajúca úprava		Verzia z 14:39, 11. august 2016 upraviť vrátiť Otm (diskusia \| príspevky) 11 608 editací doplnené podľa cs wiki Ďalšia úprava →
Riadok 1: Pojem ohraničená množina možno definovať pre množiny reálných čísel alebo všeobecnejšie pre [[metrický priestor\|metrické priestory]]. Na množine reálných čísel, ktorá je zároveň metrickým priestorom, sú obe definície ekvivalentné. ~~'''Ohraničená množina''' <math>A \subseteq \R</math> (v množine všetkých [[reálne číslo\|reálnych čísel]]), je taká množina, ktorá je súčasne ohraničená zhora i zdola.~~ ==Definícia pre reálne čísla== Ak existuje také [[číslo]] <math>r \in R</math> , že pre všetky čísla <math>a \in A</math> platí <math>a<r</math>, potom [[množina\|množinu]] <math>A</math> označujeme ako '''ohraničenú zhora'''. Číslo <math>r</~~math~~ú> nazývame horným ohraničením množiny. Ak existuje také číslo <math>s \in R</math>, že pre všetky čísla <math>a \in A</math> platí <math>a>s</math>, potom množinu <math>A</math> označujeme ako '''ohraničenú zdola'''. Číslo <math>s</math> nazývame dolným ohraničením množiny. Množina reálnych čísel ohraničená zdola aj zhora sa nazýva '''ohraničená'''. Množina ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená. Najmenšie horné ohraničenie množiny <math>A</math> sa nazýva [[supremum]] množiny <math>A</math> a označujeme ho <math>sup A</math>. Najväčšie dolné ohraničenie množiny <math>A</math> sa nazýva [[infimum]] množiny <math>A</math> a označujeme ho <math>inf A</math>.▼ ▲~~Množina ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená.~~ Najmenšie horné ohraničenie množiny <math>A</math> sa nazýva [[supremum]] množiny <math>A</math> a označujeme ho <math>sup A</math>. ~~Najväčšie dolné ohraničenie množiny <math>A</math> sa nazýva [[infimum]] množiny <math>A</math> a označujeme ho <math>inf A</math>.~~ Najväčšie dolné ohraničenie množiny <math>A</math> sa nazýva [[infimum]] množiny <math>A</math> a označujeme ho <math>inf A</math>. == Definícia pre metrické priestory == Ak je <math> (M,\rho ) \,\! </math> metrický priestor, potom množinu <math> A \subseteq M \,\! </math> nazveme '''ohraničenou''', pokiaľ existuje <math>x\in M \,\!</math> a reálné číslo <math> r\in \R \,\!</math> také, že pre každé <math>y\in A \,\!</math> je <math>\rho(x,y)<r \,\! </math> Na rozdiel od pojmu [[uzavretá množina]], ktorý nie je absolútny (tent istý metrický priestor môže byť uzavretý v jednom svojom nadpriestore a neuzavretý v inom), ohraničenosť je absolutny pojem. [[Totálne ohraničený metrický priestor]] je vždy ohraničený, opačne to však neplatí. ==Vlastnosti== Pre každé <math>x \in A</math> platí <math>sup A \ge x</math> a <math> inf A \le x</math> Ak množina <math>A</math> je ohraničená zhora, tak má aj supremum. Ak množina <math>A</math> je ohraničená zdola, tak má aj infimum. Ak <math>sup A \in A </math>, tak <math>\mbox{sup A}</math> je <math>\mbox{max A}</math>. *Ak <math>inf A \in A </math>, tak <math>\mbox{inf A}</math> je <math>\mbox{min A} </math>.

Ohraničená množina: Rozdiel medzi revíziami