Fourierov rad: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
Wizzo-Bot (diskusia | príspevky)
d nahradenie textu
d Pravopis…
Riadok 1:
'''Fourierov rad''' je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi [[Joseph Fourier|Josephovi Fourierovi]]. Slúži kna zápisuzápis [[Periodická funkcia|periodického priebehu]] pomocou [[funkcia|funkcií]] [[sínus]] a [[kosínus]]. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad [[Vektor (matematika)|vektora]] do ortogonálnej bázy. [[Lineárny priestor|Lineárnym priestorom]] je v tomto prípade priestor (istých) [[funkcia|funkcií]] definovaných na intervale <math> [-\pi,\pi]</math> a skalárnym súčinom je [[integrál]]:
 
:<math> (f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)dt </math>
Riadok 7:
:<math>[-\pi,\pi]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt, \ \ \ n\in\mathbb{N} </math>
 
ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu <math> f:\ [-\pi,\pi]\to \mathbb{R} </math> vieme nájsť jej ''súradnice'' voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku <math> e </math> je danáurčená vzťahom
 
:<math> f_e=\frac{(f,e)}{(e,e)} . </math>
 
Keďže <math> (1,1)=2\pi, (\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi </math>, tak funkcii <math> f </math> priraďujeme jej Fourierov rad
 
:<math> f(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}[ a_k \cos(kt) + b_k \sin(kt)],</math>
Riadok 21:
:<math>b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin{(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots </math>.
 
Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou <math> f </math> a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledovnénasledujúce tvrdenie: akAk je funkcia <math> f </math> ohraničená a po častiach [[Spojitá funkcia|spojitá]] a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú [[Derivácia (funkcia)|deriváciu]], tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusinemusí (v niektorom bode) vôbec konvergovať.