|
== Rigorózne výsledky ==
Pomocou [[Ivan Matvejevič Vinogradov|Vinogradovej]] metódy, Chudakov,<ref>{{CitáciaCite periodikajournal|last=Chudakov|first=Nikolai G.|year=1937|title=О проблеме Гольдбаха|trans-title=On the Goldbach problem|journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volume=17|pages=335–338|postscript=.}}</ref> Van der Corput,<ref>{{Citáciacite periodikajournal|last=Van der Corput|first=J. G.|title=Sur l'hypothèse de Goldbach|language=fr|journal=Proc. Akad. Wet. Amsterdam|volume=41|issue=|year=1938|pages=76–80|doi=|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00016746.pdf}}</ref> a Estermann<ref>{{Citáciacite periodikajournal|last=Estermann|first=T.|title=On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes|journal=Proc. London Math. Soc.|series=2|volume=44|year=1938|issue=|pages=307–314|doi=10.1112/plms/s2-44.4.307}}</ref> ukázali, že takmer všetky párne čísla sa dajú zapísať ako súčet dvoch prvočísiel (v tom zmysle, že podiel čísel, ktoré sa dajú zapísať sa pre ''n'' idúce do nekonečna blíži k 1). V roku 1930, [[Lev Genrichovič Šnireľman|Lev Schnirelmann]] ukázal,<ref>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol '''XIV''' (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.</ref><ref>Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "[https://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" in "[//en.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Annalen Mathematische Annalen]" (in German), vol '''107''' (1933), 649-690, and reprinted as "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.</ref> že všetky [[Prirodzené číslo|prirodzené čísla]] väčšie než 1 sa dajú zapísať ako súčet najviac C prvočísiel, kde C je efektívne vypočítateľná konštanta (pozri [[Schnirelmannova hustota|Schnirelmannova hustotou]]). Schnirelmannova konštanta je najmenšie číslo C s touto vlastnosťou. Schnirelmann sám dokázal, že C < 800,000. Tento výsledok postupne zlepšilo mnoho autorov, až Olivier Ramaré, ktorý v roku 1995 ukázal, že každé párne číslo ''n''  ≥ 4 je v skutočnosti súčet najviac šesť prvočísiel. Najlepší známy výsledok v súčasnosti vyplýva z dôkazu slabej Goldbachovej domnienky Haralda Helfgotta<ref>{{cite arXiv|last=Helfgott|first=H. A.|eprint=1312.7748|class=math.NT|title=The ternary Goldbach conjecture is true|date=2013}}</ref> , z ktorej priamo vyplýva, že každé párne číslo ''n''  ≥ 4 je súčet najviac štyroch prvočísiel.<ref>{{CitáciaCite periodikajournal|title=Checking the Goldbach Conjecture up to 4 10<sup>11</sup>|last=Sinisalo|first=Matti K.|periodical=Mathematics of Computation|volume=61|issue=204|date=Oct 1993|pages=931–934|doi=10.2307/2153264|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-204/S0025-5718-1993-1185250-6/S0025-5718-1993-1185250-6.pdf}}</ref><ref>{{Citácia knihy}}</ref>
Chen Jingrun ukázal v roku 1973 pomocou metódy preosievania, že každé dostatočne veľké párne číslo sa dá zapísať ako súčet dvoch prvočísiel alebo ako súčet prvočísla a poloprvočísla (čísla, ktoré je súčinom dvoch prvočísiel).<ref>{{Citáciacite periodikajournal|first=J. R.|last=Chen|title=On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes|journal=Sci. Sinica|volume=16|issue=|year=1973|pages=157–176}}</ref>
V roku 1975, Hugh Montgomery a Robert Charles Vaughan ukázali, že "väčšina" párnych čísel sa dá vyjadriť ako súčet dvoch prvočísel. Presnejšie: ukázali, že existujú kladné konštanty ''c'' a ''C'' také, že pre všetky dostatočne veľké čísla ''N'', je skoro každé párne číslo menšie ako ''N'' súčtom dvoch prvočísiel, pričom počet výnimiek je nanajvýš <math />. Teda množina čísiel, ktoré nie sú súčtom dvoch prvočísiel má [[Asymptotická hustota|hustotu]] nula.
Linnik ukázal v roku 1951 existenciu konštanty ''K'' takej, že každé dostatočne veľké párne číslo je súčtom dvoch prvočísiel a najviac ''K'' mocnín 2. Roger Heath-Hnedé a Jan-Christoph Schlage-Puchta v roku 2002 dokázali, že tvrdenie platí pre ''K'' = 13<ref>{{Citáciacite periodikajournal|first=D. R.|last=Heath-Brown|first2=J. C.|last2=Puchta|arxiv=math.NT/0201299|title=Integers represented as a sum of primes and powers of two|journal=[[Asian Journal of Mathematics]]|volume=6|year=2002|issue=3|pages=535–565}}</ref> a Pintz a Ruzsa v roku 2003 dokázali, že tvrdenie platí už pre ''K'' = 8.<ref>{{Citáciacite periodikajournal|first=J.|last=Pintz|first2=I. Z.|last2=Ruzsa|title=On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I|journal=[[Acta Arithmetica]]|volume=109|issue=2|year=2003|pages=169–194|doi=10.4064/aa109-2-6}}</ref>
Tak ako pri mnohých ďalších slávnych domnienkach v matematike, existuje množstvo údajných dôkazov Goldbachovej domnienky. Žiadny však nebol overený a prijatý matematickou komunitou.
* Podobným problémom ako Goldbach sa zaoberal Lagrange, avšak namiesto prvočísel uvažoval druhé mocniny celých čísel (tzv. štvorce: 1, 4, 9, 16, ...). Dokázal, že každé prirodzené číslo sa dá vyjadriť ako súčet štyroch štvorcov. Pozri tiež Waringov problém a súvisiaci Waring–Goldbachov problém, ktoré sa týkajú vyšších mocnín celých čísiel a prvočísiel.
* Hardy a Littlewood uvádzajú Hypotézu I: "Každé dostatočne veľké nepárny číslo (''n'' > 5) sa dá vyjadriť ako súčet prvočísla a dvojnásobku prvočísla." (''Mathematics Magazine'', 66.1 (1993): 45-47.) Toto tvrdenie je známy tiež ako Lemoinova domnienka a Levyho domnienka.
* Goldbachovu domnienku pre praktické čísla (čísla podobné prvočíslam), formuloval v roku 1984 Margenstern<ref>{{Citáciacite periodikajournal|first=M.|last=Margenstern|title=Results and conjectures about practical numbers|journal=Comptes Rendus de l'Académie des Sciences|volume=299|year=1984|pages=895–898}}</ref> a v roku 1996 dokázal Melfi:<ref>{{Citáciacite periodikajournal|first=G.|last=Melfi|title=On two conjectures about practical numbers|journal=Journal of Number Theory|volume=56|year=1996|pages=205–210|doi=10.1006/jnth.1996.0012}}</ref> každé párne číslo je súčtom dvoch praktických čísel.
== Odkazy ==
|
