Lebesgueov integrál: Rozdiel medzi revíziami

Smazaný obsah Přidaný obsah
dBez shrnutí editace
Riadok 14:
:<math>\inf_d S(d) = \sup_d s(d)</math>
 
SpolečnúSpoločnú hodnotu infima horných a suprema dolných integrálnych súčtov nazýváme '''Lebesgueovým integrálom''' funkcie <math>f(x)</math> a zapisujeme <math>\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x</math>, kde <math>\mathbf{I}=\langle a,b\rangle</math>, prípadne <math>\int_a^b f(x)\mathbf{d}x</math>. Pre zdôraznenie použitia miery možno tiež písať <math>\int_\mathbf{I} f \mathrm{d}\mu</math>. Ak je nutné odlíšiť Lebesgueov integrál od integrálu Riemannovho, potom Lebesgueov integrál zapisujeme ako <math>L\int_\mathbf{I} f(x)\mathrm{d}x</math>.
 
Ak existuje Lebesgueov integrál funkcie <math>f(x)</math>, potom o funkcii <math>f(x)</math> hovoríme, že je ''integrovateľná v Lebesgueovom zmysle''. Ak je funkcia <math>f(x)</math> integrovateľná v Riemannovom zmysle, je integrovateľná tiež v Lebesgueovom zmysle, pričom hodnoty oboch integrálov (Riemannovho a Lebesgueovho) sú si rovné. Opačné tvrdenie však neplatí, tzn. funkcia integrovateľná v Lebesgueovom zmysle nemusí byť integrovateľná ve zmysle Riemannovom.