Algebrická štruktúra: Rozdiel medzi revíziami

Pridaných 3 545 bajtov ,  pred 3 rokmi
Obsah týchto úprav bol z veľkej časti preložený z existujúceho anglického článku na Wikipédii: en:Algebraic structure
(Obsah týchto úprav bol z veľkej časti preložený z existujúceho anglického článku na Wikipédii: en:Algebraic structure)
V matematike, presnejšie v [[Abstraktná algebra|abstraktnej algebre]], je '''Algebrickáalgebrická štruktúra''' (iné názvy: '''algebra''', '''algebrický systém''', staršie '''algebraická štruktúra''', '''algebraický systém''') je označenie pre [[množina|množinu]] A(nazývaná tiež '''nosná množina''') spolu s jednou alebo viacerými operáciami definovanými na tejto množine, splňujúce nejakú sadu [[axióma|axiómov]].<ref>P.M. Cohn. (1981) ''Universal Algebra'', Springer, p. A41.</ref>
 
Algebrická štruktúra na množine A je teda daná dvoma množinami (môže sa definovať ako dvojica týchto množín):
# množinou A, ktorú nazývame oborom algebrickej štruktúry alebo poľom algebrickej štruktúry. Podľa toho, či je konečná alebo nekonečná, nazýva sa algebraická štruktúra konečnou alebo nekonečnou.
# Množinou operácií na množine A (aj táto množina môže byť nekonečná).
 
Príklady algebraických štruktúr zahŕňajú [[Grupa (matematika)|grupy]], [[okruh (algebra)|okruhy]], [[pole (algebra)|pole]], či [[Zväz (matematika)|zväzy]]. Zložitejšie štruktúry môžu byť definované predstavením viacerých operácií, rôznymi nosnými množinami, alebo zamieňaním definujúcich axióm. Príkladom komplexnejšej algebraickej štruktúry je [[Vektorový priestor|vektorový priestor]].
 
Vlastnosti špecifických algebraických štruktúr sa študujú v abstraktnej algebre. Všeobecná teória algebraických štruktúr bola formalizovaná odborom [[Univerzálna algebra|univerzálna algebra]].
 
== Úvod ==
Sčítanie a násobenie na číslach sú prototypickým príkladom operácií, ktoré kombinujú dva prvky z množiny na vyprodukovanie tretieho. Tieto operácie spĺňajú niektoré z algebraických vlastností (viď [[Binárna operácia#Vlastnosti binárnych operácií|vlastnosti binárnych operácií]]). Napríklad ''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c'' a ''a''(''bc'') = (''ab'')''c'' sú obe príkladom [[Asociatívnosť|asociativity]] operácií sčítania, resp. násobenia. Ďalej ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'', a ''ab'' = ''ba'' sú príkladmi [[Komutatívnosť|komutativity]]. Mnoho systémov študovaných matematikou má nad sebou definované operácie, ktoré majú niektoré (nie zákonite všetky) z takýchto vlastností.
 
Matematici množiny spolu s operáciami, ktoré spĺňajú niektoré takéto vlastnosti pomenovávajú a študujú ich ako algebraické štrutúry. Keď pre nejaký nový problém je možné ukázať, že spĺňa vlastnosti niektorej algebraickej štruktúry, všetka práca, ktorá bola v tejto kategórii urobená, môže byť aplikovaná aj na nový problém.
 
Vo všeobecnosti môžu algebraické štruktúry obsahovať ľubovoľný počet množín a operácií z rôznou [[Árnosť|aritou]], tu sa však budeme zameriavať na algebraické štruktúry s [[Binárna operácia|binárnymi operáciami]] nad jednou množinou.
 
== Druhy/príklady ==
Nasledujúce príklady rozhodne nie sú úplným výčtom algebraických štruktúr, ale sú mienené ako reprezentatívny zoznam a zahŕňajú najčastejšie štruktúry.
* [[Grupa (matematika)|grupa]]
 
* [[komutatívna grupa|Ábelova grupa]]
=== Grupoidné štruktúry ===
* [[grupoid]]
Štruktúry s jednou množinou a jednou operáciou.
* [[asociatívny grupoid]] (pologrupa)
 
* [[pole (algebra)|pole]]
Nech <math>G</math> je množina a <math>\circ</math> je binárna operácia na množine <math>G</math>.
* [[okruh (algebra)|okruh]]
 
* [[polkruh (algebra)|polkruh]]
*[[Grupoid]] je usporiadaná dvojica <math>(G,\circ)</math>.
*[[Asociatívny grupoid|Pologrupa]] (alebo asociatívny grupoid) je grupoid, v ktorom je operácia <math>\circ</math> [[Asociatívnosť|asociatívna]].
*[[Monoid]] je pologrupa s [[Neutrálny prvok|neutrálnym prvkom]] <math>e\in G</math>
*[[Grupa (matematika)|Grupa]] je monoid, v ktorom má každý prvok [[Inverzný prvok|inverziu]].
 
Vyššie uvedené štruktúry sa nazývajú komutatívne ak operácia <math>\circ</math> je [[Komutatívnosť|komutatívna]].
 
=== Okruhové štruktúry ===
Štruktúry s jednou množinou a dvoma operáciami.
 
Nech <math>R</math> je množina a <math>+</math> a <math>.</math> sú binárne operácie na množine <math>R</math>.
 
*[[Okruh (algebra)|Okruh]] je trojica <math>(R,+,.)</math>, kde <math>(R,+)</math> je komutatívna grupa (tzv. [[Abelovská grupa]]), <math>(R,.)</math> je [[Monoid|monoid]] a pre všetky <math>a,b,c \in R</math> platí
**<math>a . (b + c) = (a . b) + (a . c)</math> (ľavá [[Distributívnosť|distributivita]]) a
**<math>(b + c) . a = (b . a) + (c . a)</math> (pravá [[Distributívnosť|distributivita]]).
 
== Externé odkazy ==
15

úprav